Question

Решите неравенство:

$$x^{2}\log_{625}(6-x) \leq \log_{5}(x^{2}-12x+36)$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать основания логарифмов к единому виду, упростить выражение под логарифмом и применить метод рационализации. Переведём основание $625$ в степень пятёрки: $$x^{2}\log_{5^{4}}(6-x) \leq \log_{5}(x-6)^{2}$$ Используя свойство логарифма степени: $$\frac{x^{2}}{4}\log_{5}(6-x) \leq 2\log_{5}|x-6|$$ Найдём область допустимых значений. Требуется: - $6-x > 0$ - $(x-6)^{2} > 0$ Отсюда получаем $x < 6$ и $x eq 6$, то есть $x < 6$. При $x < 6$ имеем $|x-6| = 6-x$, поэтому: $$\frac{x^{2}}{4}\log_{5}(6-x) \leq 2\log_{5}(6-x)$$ Перенесём всё в левую часть: $$\frac{x^{2}}{4}\log_{5}(6-x) - 2\log_{5}(6-x) \leq 0$$ Вынесем общий множитель: $$\log_{5}(6-x)\left(\frac{x^{2}}{4} - 2 ight) \leq 0$$ Умножим второй множитель на 4: $$\log_{5}(6-x)(x^{2} - 8) \leq 0$$ Применим метод рационализации. Неравенство $\log_{a}(f) \cdot g \leq 0$ равносильно $(a-1)(f-1) \cdot g \leq 0$ при условии $f > 0$: $$(5-1)(6-x-1)(x^{2}-8) \leq 0$$ $$4(5-x)(x-\sqrt{8})(x+\sqrt{8}) \leq 0$$ $$(5-x)(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2}) \leq 0$$ Найдём нули: $x = -2\sqrt{2}$, $x = 2\sqrt{2}$, $x = 5$. Применим метод интервалов. На числовой оси отмечаем точки в порядке возрастания: $-2\sqrt{2} \approx -2{,}83$, $2\sqrt{2} \approx 2{,}83$, $5$. Определяем знаки на каждом интервале: - $(-\infty, -2\sqrt{2})$: $(-)(-)(-)= -$ ✓ - $(-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$: $(-)(+)(-)= +$ ✗ - $(2\sqrt{2}, 5)$: $(-)(+)(+)= -$ ✓ - $(5, +\infty)$: $(+)(+)(+)= +$ ✗ Решение неравенства: $x \in (-\infty, -2\sqrt{2}] \cup [2\sqrt{2}, 5]$. Пересекаем с ограничением $x < 6$: $$x \in (-\infty, -2\sqrt{2}] \cup [2\sqrt{2}, 5]$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике