Question

Найдите точку максимума функции $y = 0{,}5x^2 - 21x + 110 \cdot \ln x + 43$.

Accepted Answer

10

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, затем определить характер экстремума методом интервалов.

Вычислим производную:

$$y' = x - 21 + \frac{110}{x}$$

Приравняем производную к нулю:

$$x - 21 + \frac{110}{x} = 0$$

Умножим на $x$ (при $x > 0$):

$$x^2 - 21x + 110 = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1 \cdot x_2 = 110, \quad x_1 + x_2 = 21$$

Отсюда получаем $x_1 = 10$ и $x_2 = 11$.

Исследуем знак производной на интервалах с помощью метода интервалов:

На промежутке $(0; 10)$ производная положительна, на $(10; 11)$ — отрицательна, на $(11; +\infty)$ — положительна.

Следовательно, $x = 10$ — точка максимума, а $x = 11$ — точка минимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике