Question

а) Решите уравнение $2\cos^3 x = \sqrt{2}\sin^2 x + 2\cos x$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{7\pi}{2}; 5\pi\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: заменить синус через косинус, привести к общему виду и разложить на множители.

**а) Решение уравнения**

Используя тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, преобразуем исходное уравнение:

$$2\cos^3 x = \sqrt{2}(1 - \cos^2 x) + 2\cos x$$

$$2\cos^3 x = \sqrt{2} - \sqrt{2}\cos^2 x + 2\cos x$$

$$2\cos^3 x + \sqrt{2}\cos^2 x - 2\cos x - \sqrt{2} = 0$$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$$\cos^2 x(2\cos x + \sqrt{2}) - (2\cos x + \sqrt{2}) = 0$$

$$(2\cos x + \sqrt{2})(\cos^2 x - 1) = 0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

$$\left[\begin{array}{l}
2\cos x + \sqrt{2} = 0 \
\cos^2 x - 1 = 0
\end{array}ight.$$

Из первого уравнения:

$$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z} \quad 	ext{или} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$$

Из второго уравнения:

$$\cos^2 x = 1 \Rightarrow \sin^2 x = 0 \Rightarrow x = \pi m, \, m \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке**

Проверим каждую серию решений.

*Серия 1:* $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

$$\frac{7\pi}{2} \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq 5\pi$$

Умножим на $\frac{4}{\pi}$:

$$14 \leq 3 + 8k \leq 20$$

$$11 \leq 8k \leq 17$$

$$1{,}375 \leq k \leq 2{,}125$$

Целое значение: $k = 2$, откуда $x = \frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{19\pi}{4}$.

*Серия 2:* $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$

$$\frac{7\pi}{2} \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \leq 5\pi$$

Умножим на $\frac{4}{\pi}$:

$$14 \leq 5 + 8n \leq 20$$

$$9 \leq 8n \leq 15$$

$$1{,}125 \leq n \leq 1{,}875$$

Целых значений нет.

*Серия 3:* $x = \pi m$

$$\frac{7\pi}{2} \leq \pi m \leq 5\pi$$

$$3{,}5 \leq m \leq 5$$

Целые значения: $m = 4$ и $m = 5$, откуда $x = 4\pi$ и $x = 5\pi$.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике