Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} \frac{\left( y^{2}-xy+4x-7y+12 ight)\sqrt{x+5}}{\sqrt{5-x}}=0, \ x+y-a=0 \end{array} ight.$$

имеет ровно два различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить числитель первого уравнения на множители, найти геометрическое место точек, удовлетворяющих первому уравнению, а затем определить, при каких значениях параметра прямая $y = a - x$ пересекает это множество ровно в двух точках.

Преобразуем числитель первого уравнения. Рассмотрим квадратное уравнение относительно $y$:

$$y^{2} - y(x+7) + 4x + 12 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (x+7)^{2} - 4(4x+12) = x^{2} + 14x + 49 - 16x - 48 = x^{2} - 2x + 1 = (x-1)^{2}$$

Найдём корни:

$$y = \frac{(x+7) \pm |x-1|}{2}$$

Отсюда получаем:

$$y_{1} = x + 3, \quad y_{2} = 4$$

Первое уравнение системы обращается в нуль при условии, что числитель равен нулю и знаменатель определён. Это даёт:

$$-5 \le x < 5, \quad (y = x+3 	ext{ или } y = 4)$$

Второе уравнение системы — это прямая $y = a - x$, которая имеет угловой коэффициент $-1$.

Геометрически решение сводится к подсчёту пересечений прямой $y = a - x$ с объединением:
- отрезка прямой $y = x + 3$ при $-5 \le x < 5$ (от точки $(-5, -2)$ до точки $(5, 8)$, не включая последнюю);
- горизонтального отрезка $y = 4$ при $-5 \le x < 5$ (от точки $(-5, 4)$ до точки $(5, 4)$, не включая последнюю).

Из графика видно, что система имеет ровно два решения при следующих значениях $a$:

**Случай 1:** Прямая проходит через точку $(-5, -2)$ (левый конец отрезка $y = x+3$):

$$a = -5 + (-2) = -7$$

**Случай 2:** Прямая проходит через точку $(-5, 4)$ (левый конец горизонтального отрезка):

$$a = -5 + 4 = -1$$

**Случай 3:** Прямая проходит через точку пересечения $y = 4$ и $y = x + 3$:

$$4 = x + 3 \Rightarrow x = 1$$

$$a = 1 + 4 = 5$$

**Случай 4:** Прямая проходит через точку $(5, 4)$ (правый конец горизонтального отрезка, не включённый):

$$a = 5 + 4 = 9$$

**Случай 5:** Прямая проходит через точку $(5, 8)$ (правый конец отрезка $y = x+3$, не включённый):

$$a = 5 + 8 = 13$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике