Question

а) Решите уравнение $\sin x \cdot \cos 2x + \sqrt{2}\cos^2 x + \sin x = 0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить формулы двойного угла и косинуса через синус, затем разложить на множители.

**а) Решение уравнения**

Используем $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ и $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$$\sin x(1 - 2\sin^2 x) + \sqrt{2}(1 - \sin^2 x) + \sin x = 0$$

Раскроем скобки:

$$\sin x - 2\sin^3 x + \sqrt{2} - \sqrt{2}\sin^2 x + \sin x = 0$$

Приведём подобные:

$$2\sin x - 2\sin^3 x + \sqrt{2} - \sqrt{2}\sin^2 x = 0$$

Сгруппируем:

$$2\sin x(1 - \sin^2 x) + \sqrt{2}(1 - \sin^2 x) = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$(2\sin x + \sqrt{2})(1 - \sin^2 x) = 0$$

Получаем два случая.

**Случай 1:** $2\sin x + \sqrt{2} = 0$

$$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

или

$$x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**Случай 2:** $1 - \sin^2 x = 0$

$$\sin^2 x = 1$$

Отсюда $\sin x = 1$ или $\sin x = -1$.

При $\sin x = 1$:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

При $\sin x = -1$:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$**

Проверим каждую серию решений.

Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$: при $k = 1$ получаем $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$. Проверим: $\frac{3\pi}{2} = \frac{6\pi}{4} < \frac{7\pi}{4} < 3\pi = \frac{12\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку.

Для $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: при $k = 1$ получаем $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$. Это меньше $\frac{3\pi}{2}$, не подходит.

Для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$: при $k = 1$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$. Проверим: $\frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{2} < 3\pi$. Корень принадлежит отрезку.

Для $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$: при $k = 1$ получаем $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{3\pi}{2}$. Это левый конец отрезка, корень принадлежит.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике