Question

На ребре $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $E$ так, что $A_1E:EA = 1:2$, на ребре $BB_1$ — точка $F$ так, что $B_1F:FB = 1:5$, а точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$. Известно, что $AB = 2$, $AD = 6$, $AA_1 = 6$.

а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через вершину $D_1$.

б) Найдите угол между плоскостью $EFT$ и плоскостью $AA_1B_1$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: используя подобие треугольников в параллельных плоскостях, покажем, что точка пересечения прямой, проведённой из $E$ параллельно $FT$, совпадает с $D_1$; затем найдём угол между плоскостями через анализ треугольника в сечении.

**а) Доказательство**

1) Поскольку плоскости $(ADD_1)$ и $(BCC_1)$ параллельны, проведём из точки $E$ прямую, параллельную $FT$. Эта прямая пересекает плоскость $(ADD_1)$ в некоторой точке $D_2$.

2) Из параллельности получаем равенство углов:
$$\angle D_1A_1E = \angle TB_1F, \quad \angle B_1FT = \angle A_1ED_2, \quad \angle TD_2E = \angle B_1TF$$

Следовательно, $	riangle A_1ED_2 \sim 	riangle B_1FT$, откуда:
$$\frac{B_1F}{A_1E} = \frac{B_1T}{A_1D_2}$$

3) Из условия $A_1E : EA = 1:2$ и $AA_1 = 6$ получаем $A_1E = 2$ и $EA = 4$.

Из условия $B_1F : FB = 1:5$ и $BB_1 = 6$ получаем $B_1F = 1$ и $FB = 5$.

Поскольку $T$ — середина $B_1C_1$, имеем $B_1T = 3$.

4) Подставляя в соотношение подобия:
$$\frac{1}{2} = \frac{3}{A_1D_2} \Rightarrow A_1D_2 = 6 = A_1D_1$$

Таким образом, $D_2 = D_1$, что и требовалось доказать.

**б) Нахождение угла**

5) Продлим отрезки $DT$ и $EF$ до их пересечения в точке $M$.

6) В плоскости $(AA_1B_1)$ угол $\angle B_1ME$ общий для треугольников $B_1FM$ и $A_1EM$, и оба угла $\angle EA_1M$ и $\angle FB_1M$ равны $90°$. Поэтому $	riangle B_1FM \sim 	riangle A_1EM$:
$$\frac{B_1M}{B_1M + 2} = \frac{1}{2} \Rightarrow B_1M = 2$$

Следовательно, $A_1M = 4$.

7) По теореме Пифагора в $	riangle A_1ME$:
$$EM = \sqrt{A_1M^2 + A_1E^2} = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt{5}$$

8) Опустим высоту из $A_1$ на $EM$, обозначив основание через $H$. Тогда:
$$\cos \angle A_1EM = \frac{A_1E}{EM} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \sin \angle A_1EM = \frac{2}{\sqrt{5}}$$

$$EH = A_1E \cos \angle A_1EM = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$

$$A_1H = A_1E \sin \angle A_1EM = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$$

9) По теореме Пифагора в $	riangle A_1D_1E$:
$$ED_1 = \sqrt{A_1D_1^2 + A_1E^2} = \sqrt{36 + 4} = 2\sqrt{10}$$

По теореме Пифагора в $	riangle A_1D_1M$:
$$D_1M = \sqrt{A_1D_1^2 + A_1M^2} = \sqrt{36 + 16} = 2\sqrt{13}$$

10) По теореме косинусов в $	riangle ED_1M$:
$$ED_1^2 + EM^2 - 2 \cdot ED_1 \cdot EM \cdot \cos \angle D_1EM = D_1M^2$$

$$40 + 20 - 2 \cdot 2\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5} \cdot \cos \angle D_1EM = 52$$

$$\cos \angle D_1EM = \frac{8}{8\sqrt{50}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$$

11) Опустим высоту из $D_1$ на $EM$, обозначив основание через $H_1$:
$$EH_1 = ED_1 \cos \angle D_1EM = 2\sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{2}}{10} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$

12) Поскольку $EH = EH_1 = \frac{2}{\sqrt{5}}$, точки $H$ и $H_1$ совпадают.

13) По теореме Пифагора в $	riangle ED_1H$:
$$D_1H = \sqrt{ED_1^2 - EH^2} = \sqrt{40 - \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{196}{5}} = \frac{14}{\sqrt{5}}$$

14) По теореме косинусов в $	riangle A_1D_1H$:
$$A_1H^2 + D_1H^2 - 2 \cdot A_1H \cdot D_1H \cdot \cos \angle A_1HD_1 = A_1D_1^2$$

$$\frac{16}{5} + \frac{196}{5} - 2 \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} \cdot \frac{14}{\sqrt{5}} \cdot \cos \angle A_1HD_1 = 36$$

$$\frac{212}{5} - \frac{112}{5} \cos \angle A_1HD_1 = 36$$

$$\cos \angle A_1HD_1 = \frac{2}{7}$$

Угол между плоскостями равен $\arccos \frac{2}{7}$.

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/FFr1Vm9habsENju4S7KaneJ89K7IqtDfVYxKVkrf.png)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/kMLYZqRmQDBiepmpCYI2fVcVohb8dJghCXHe38O7.png)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/uxRfgIJZn1PyqsgV7XJihJqxHFcJ2w3ZuvdP3MTa.png)

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике