Question

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия возврата:
- каждый январь долг увеличивается на 20% от остатка на конец предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года вносится один платёж в счёт долга;
- платежи в 2027 и 2028 годах составляют по 500 тыс. рублей;
- к июлю 2029 года кредит полностью погашен.

Сумма всех платежей равна 1235,2 тыс. рублей. Найти размер кредита.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: отследить динамику долга через три года, применяя коэффициент увеличения $k = 1{,}2$ после каждого января, и составить уравнение на основе условия полного погашения.

Обозначим $S$ — сумма кредита в тыс. рублей, $k = 1{,}2$ — коэффициент увеличения долга в январе.

Проследим изменение долга по годам:

**Год 1 (2027):**
- После января: $Sk$
- После платежа 500: $Sk - 500$

**Год 2 (2028):**
- После января: $(Sk - 500)k$
- После платежа 500: $(Sk - 500)k - 500$

**Год 3 (2029):**
- После января: $\left((Sk - 500)k - 500\right)k$
- После платежа $y$: долг полностью погашен

Из условия полного погашения:

$$\left((Sk - 500)k - 500\right)k = y$$

Сумма всех платежей:

$$500 + 500 + y = 1235{,}2$$

$$y = 235{,}2$$

Подставим в уравнение долга:

$$\left((1{,}2S - 500) \cdot 1{,}2 - 500\right) \cdot 1{,}2 = 235{,}2$$

Раскроем скобки:

$$(1{,}44S - 600 - 500) \cdot 1{,}2 = 235{,}2$$

$$(1{,}44S - 1100) \cdot 1{,}2 = 235{,}2$$

$$1{,}728S - 1320 = 235{,}2$$

$$1{,}728S = 1555{,}2$$

$$S = 900$$

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике