Question

а) Решите уравнение $16^{\cos x} + 16^{\cos(\pi - x)} = \frac{17}{4}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: используем свойство косинуса дополнительного угла и замену переменной для сведения к квадратному уравнению.

**а) Решение уравнения**

Заметим, что $\cos(\pi - x) = -\cos x$, поэтому:

$$16^{\cos x} + 16^{-\cos x} = \frac{17}{4}$$

Обозначим $16^{\cos x} = t$, где $t > 0$. Тогда $16^{-\cos x} = \frac{1}{t}$:

$$t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4}$$

Умножим обе части на $4t$:

$$4t^2 + 4 = 17t$$

$$4t^2 - 17t + 4 = 0$$

По формуле корней квадратного уравнения:

$$t = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 64}}{8} = \frac{17 \pm \sqrt{225}}{8} = \frac{17 \pm 15}{8}$$

Получаем $t = 4$ или $t = \frac{1}{4}$.

**Случай 1:** $16^{\cos x} = 4$

$$4^{2\cos x} = 4^1$$

$$2\cos x = 1$$

$$\cos x = \frac{1}{2}$$

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**Случай 2:** $16^{\cos x} = \frac{1}{4}$

$$4^{2\cos x} = 4^{-1}$$

$$2\cos x = -1$$

$$\cos x = -\frac{1}{2}$$

$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$**

Из семейства $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$:
- При $n = 1$: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$ — принадлежит отрезку.

Из семейства $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$:
- При $n = 1$: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$ — принадлежит отрезку.

Из семейства $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$:
- При $n = 0$: $x = \frac{2\pi}{3}$ — не принадлежит отрезку.
- При $n = 1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$ — не принадлежит отрезку (превышает $\frac{5\pi}{2}$).

Из семейства $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$:
- При $n = 1$: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$ — не принадлежит отрезку.
- При $n = 2$: $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$ — не принадлежит отрезку.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике