Question

Дан ромб $ABCD$. На диагонали $AC$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $AM = NM = NC$. Прямая $BM$ пересекает сторону $AD$ в точке $P$, а прямая $BN$ пересекает сторону $CD$ в точке $Q$.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника $BPDQ$ равна площади треугольника $ADC$.

б) Найдите $BD$, если известно, что $AC = 2\sqrt{5}$ и около пятиугольника $PMNQD$ можно описать окружность.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: установить равенство треугольников и подобие, найти положения точек $P$ и $Q$, затем использовать условие вписанности пятиугольника для определения сторон ромба.

**а) Доказательство**

Поскольку $ABCD$ — ромб, имеем $AB = BC = CD = AD$. Треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому $\angle CAB = \angle ACB$.

Из условий $AB = BC$, $AM = NC$ и $\angle MAB = \angle MCB$ получаем, что $	riangle AMB = 	riangle BNC$. Следовательно, $MB = NB$.

Треугольники $ABN$ и $CQN$ подобны, так как $\angle CAB = \angle QCN$ (накрест лежащие) и $\angle ANB = \angle QNC$ (вертикальные).

Коэффициент подобия:
$$\frac{AB}{CQ} = \frac{BN}{QN} = \frac{AN}{CN} = \frac{2CN}{CN} = 2$$

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому $S_{NQC} = \frac{S_{ANB}}{4}$. Из $CQ = \frac{AB}{2}$ следует, что $Q$ — середина $CD$.

Аналогично, рассматривая подобие $	riangle CMB \sim 	riangle AMD$, получаем, что $P$ — середина $AD$.

Проведём диагональ $DB$. В ромбе $	riangle ADB = 	riangle DCB$.

Поскольку $P$ — середина $AD$, медиана $BP$ треугольника $ABD$ делит его на две равновеликие части:
$$S_{ABP} = S_{BPD} = \frac{1}{2} S_{ABD} = \frac{1}{4} S_{ABCD}$$

Аналогично:
$$S_{BQC} = S_{DQB} = \frac{1}{2} S_{DCB} = \frac{1}{4} S_{ABCD}$$

Следовательно:
$$S_{BPDQ} = S_{BPD} + S_{DQB} = \frac{1}{4} S_{ABCD} + \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$

Так как $S_{ADC} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$, имеем $S_{BPDQ} = S_{ADC}$. ✓

**б) Нахождение BD**

Соединим точки $D$ и $M$, а также $D$ и $N$.

В треугольнике $ADN$ точка $P$ — середина $AD$, а $M$ — середина $AN$. Следовательно, $PM$ — средняя линия и $PM \parallel DN$.

Аналогично, $QN$ — средняя линия треугольника $DCM$, поэтому $QN \parallel DM$.

Пятиугольник $PMNQD$ вписан в окружность. Четырёхугольник $PMND$ — трапеция (так как $PM \parallel DN$), вписанная в окружность, значит, она равнобедренная. Получаем $PD = MN$.

Аналогично, $DQNM$ — равнобедренная трапеция, откуда $DQ = MN$.

Так как $AC = 2\sqrt{5}$ и $MN = \frac{1}{3} AC$:
$$MN = \frac{2\sqrt{5}}{3} = PD$$

Поскольку $P$ — середина $AD$:
$$AD = 2 \cdot PD = \frac{4\sqrt{5}}{3}$$

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам:
$$AO = OC = \frac{1}{2} AC = \sqrt{5}$$

По теореме Пифагора для треугольника $AOD$:
$$AD^2 = OD^2 + AO^2$$

$$OD^2 = AD^2 - AO^2 = \frac{80}{9} - 5 = \frac{35}{9}$$

$$OD = \frac{\sqrt{35}}{3}$$

Следовательно:
$$BD = 2 \cdot OD = \frac{2\sqrt{35}}{3}$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике