Question

Строительство нового завода обходится в 100 млн рублей. Годовые затраты на выпуск $x$ тыс. единиц продукции составляют $(0{,}5x^2 + x + 7)$ млн рублей. При цене $p$ тыс. рублей за единицу годовая прибыль фирмы (в млн рублей) равна $px - (0{,}5x^2 + x + 7)$.

После постройки завода фирма будет производить объём, максимизирующий годовую прибыль. Найдите наименьшее значение $p$, при котором инвестиция окупится за 4 года или менее.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: найти объём производства, при котором прибыль максимальна, затем составить условие на окупаемость инвестиции.

Рассмотрим функцию годовой прибыли:

$$f(x) = px - (0{,}5x^2 + x + 7) = -0{,}5x^2 + (p-1)x - 7$$

Это парабола с ветвями, направленными вниз. Максимум достигается в вершине:

$$x_0 = \frac{-(p-1)}{2 \cdot (-0{,}5)} = p - 1$$

Подставим $x_0$ в выражение для прибыли:

$$f(x_0) = -0{,}5(p-1)^2 + (p-1)^2 - 7 = 0{,}5(p-1)^2 - 7$$

Для окупаемости за 4 года суммарная прибыль должна быть не менее 100 млн рублей:

$$4 \cdot f(x_0) \geq 100$$

$$4 \left(0{,}5(p-1)^2 - 7ight) \geq 100$$

$$2(p-1)^2 - 28 \geq 100$$

$$(p-1)^2 \geq 64$$

Отсюда:

$$p - 1 \geq 8 \quad 	ext{или} \quad p - 1 \leq -8$$

$$p \geq 9 \quad 	ext{или} \quad p \leq -7$$

Поскольку цена должна быть положительной, получаем $p \geq 9$.

Наименьшее значение: $p_{\min} = 9$.

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике