Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} x^{4}+y^{2}=a^{2} \ x^{2}+y=\left| 2a-4 ight| \end{array} ight.$$

имеет ровно четыре различных корня.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: заменить $x^2 = t$ и свести задачу к анализу пересечения окружности и прямой в плоскости $(t, y)$, затем найти условия на $a$ для получения ровно четырёх решений исходной системы. Введём замену $x^2 = t$, где $t \geq 0$. Система принимает вид: $$\left\{ \begin{array}{c} t^{2}+y^{2}=a^{2} \ t+y=\left| 2a-4 ight| \end{array} ight.$$ Первое уравнение описывает окружность радиуса $|a|$ с центром в начале координат плоскости $(t, y)$. Второе — прямую с наклоном $-1$. Для каждого значения $t$ из решения системы в $(t, y)$-плоскости: - если $t < 0$ — нет решений в исходной системе; - если $t = 0$ — одно решение $x = 0$; - если $t > 0$ — два решения $x = \pm\sqrt{t}$. Чтобы получить ровно четыре решения в исходной системе, нужно, чтобы система в $(t, y)$-плоскости имела ровно два решения, оба с $t > 0$. Это происходит, когда прямая касается окружности в точке с $t > 0$. Расстояние от начала координат до прямой $t + y = |2a - 4|$ равно: $$d = \frac{|2a-4|}{\sqrt{2}}$$ Условие касания: $d = |a|$, откуда: $$\frac{|2a-4|}{\sqrt{2}} = |a|$$ $$|2a-4| = \sqrt{2}|a|$$ Рассмотрим два случая. **Случай 1:** $2a - 4 \geq 0$, то есть $a \geq 2$. $$2a - 4 = \sqrt{2}|a|$$ При $a > 0$: $$2a - 4 = \sqrt{2}a$$ $$a(2 - \sqrt{2}) = 4$$ $$a = \frac{4}{2-\sqrt{2}} = \frac{4(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{4(2+\sqrt{2})}{2} = 2(2+\sqrt{2}) = 4 + 2\sqrt{2}$$ **Случай 2:** $2a - 4 < 0$, то есть $a < 2$. $$4 - 2a = \sqrt{2}|a|$$ При $a > 0$: $$4 - 2a = \sqrt{2}a$$ $$4 = a(2 + \sqrt{2})$$ $$a = \frac{4}{2+\sqrt{2}} = \frac{4(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{4(2-\sqrt{2})}{2} = 2(2-\sqrt{2}) = 4 - 2\sqrt{2}$$ При $a < 0$: $$4 - 2a = -\sqrt{2}a$$ $$4 = a(2 - \sqrt{2})$$ $$a = \frac{4}{2-\sqrt{2}} = 4 + 2\sqrt{2}$$ Но это противоречит $a < 0$, поэтому решений нет. Проверим, что точка касания имеет $t > 0$ для найденных значений. Для $a = 4 + 2\sqrt{2}$: точка касания лежит на прямой $t + y = 2a - 4 = 4 + 4\sqrt{2}$ и на окружности. Из геометрии касания прямой $t + y = c$ к окружности $t^2 + y^2 = r^2$ точка касания имеет координаты $t = y = \frac{c}{\sqrt{2}}$. Здесь $t = \frac{4+4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4(1+\sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}(1+\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} + 4 > 0$. ✓ Для $a = 4 - 2\sqrt{2}$: точка касания имеет $t = y = \frac{4-4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}(1-\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 4 < 0$. ✗ Следовательно, только $a = 4 + 2\sqrt{2}$ удовлетворяет условию.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике