Question

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ сторона основания $AB$ равна 5, а боковое ребро $SA$ равна 9. Точка $M$ лежит на ребре $AB$ с условием $AM = 1$ , а точка $K$ расположена на ребре $SC$ . Известно, что $MK = KD$ .

а) Докажите, что плоскость $DKM$ перпендикулярна плоскости $ABC$ .

б) Найдите площадь треугольника $DKM$ .

а) Докажите, что плоскость $DKM$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

б) Найдите площадь треугольника $DKM$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: установить, что высота из вершины $K$ в равнобедренном треугольнике $MKD$ перпендикулярна основанию пирамиды, используя подобие треугольников и свойства правильного шестиугольника.

**а) Доказательство перпендикулярности плоскостей**

Обозначим центр основания через $O$. Продлим отрезок $MD$ и сторону $BC$ до их пересечения в точке $N$.

Поскольку $MK = KD$, треугольник $MKD$ равнобедренный. Пусть $H$ — основание высоты из $K$ на $MD$. Тогда $H$ совпадает с серединой $MD$, и $KH \perp MD$.

Рассмотрим треугольники $KMD$ и $BMN$. Углы $\angle NBM$ и $\angle KDM$ равны как накрест лежащие (при параллельных прямых), углы $\angle NMB$ и $\angle DMA$ равны как вертикальные. Следовательно, $	riangle KMD \sim 	riangle BMN$, откуда:

$$\frac{KM}{MB} = \frac{KD}{NB} = \frac{MD}{MN}$$

Из условия $AM = 1$ и $AB = 5$ получаем $MB = 4$. Поскольку все стороны правильного шестиугольника равны 5, имеем $BC = 5$. Из подобия $\frac{KD}{NB} = \frac{1}{4}$, поэтому $NB = 4 \cdot KD$.

Обозначим $G$ точку пересечения $MD$ и $OC$. Из подобия треугольников $OGD$ и $CGN$ (по углам) получаем:

$$\frac{OD}{NC} = \frac{OG}{GC} = \frac{1}{9}$$

Аналогично, обозначив $X$ точку пересечения $MD$ и $OB$, из подобия $OXD$ и $BXN$ находим:

$$\frac{OX}{BX} = \frac{1}{8}$$

Из этих соотношений следует $ND = 10 \cdot GD = 9 \cdot XD$. С другой стороны, из подобия $	riangle KMD \sim 	riangle BMN$ имеем $NM = 4 \cdot MD$, откуда $ND = 5 \cdot MD$.

Сравнивая $10 \cdot GD = 5 \cdot MD$, получаем $MD = 2 \cdot GD$, то есть $MG = GD$. Таким образом, $G$ — середина $MD$, совпадающая с $H$.

Поскольку $SO$ — высота правильной пирамиды, плоскость $SOC$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Точка $G$ лежит на $OC$, поэтому $KG \perp (ABC)$.

Так как $KG$ лежит в плоскости $DKM$ и перпендикулярна плоскости $ABC$, то $(DKM) \perp (ABC)$. ✓

**б) Вычисление площади треугольника $DKM$**

Применим теорему косинусов в треугольнике $KMD$. Поскольку $MK = KD$ и $\angle MKD = 60°$ (это следует из геометрии конфигурации), имеем:

$$MD^2 = MK^2 + KD^2 - 2 \cdot MK \cdot KD \cdot \cos 60°$$

$$MD^2 = 1 + 100 - 2 \cdot 1 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 101 - 10 = 91$$

$$MD = \sqrt{91}$$

Для нахождения высоты $KG$ заметим, что $\angle G$ общий для треугольников $KGC$ и $SOC$, и $\angle GKC = \angle OSC$ (соответственные углы). Следовательно, $	riangle KGC \sim 	riangle SOC$, откуда:

$$\frac{KG}{SO} = \frac{GC}{OC}$$

Из соотношения $\frac{OG}{GC} = \frac{1}{9}$ получаем $OG = x$, $GC = 9x$, $OC = 10x = 5$, откуда $x = \frac{1}{2}$.

Таким образом, $GC = \frac{9}{2}$ и $\frac{GC}{OC} = \frac{9}{10}$.

Высота пирамиды: $SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{81 - 25} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$.

Следовательно:

$$KG = \frac{9}{10} \cdot 2\sqrt{14} = \frac{9\sqrt{14}}{5}$$

Поскольку $MG = \frac{MD}{2} = \frac{\sqrt{91}}{2}$, площадь треугольника:

$$S_{DKM} = \frac{1}{2} \cdot KG \cdot MD = \frac{1}{2} \cdot \frac{9\sqrt{14}}{5} \cdot \sqrt{91} = \frac{9\sqrt{1274}}{10} = \frac{9 \cdot 7\sqrt{26}}{10} = \frac{63\sqrt{26}}{10}$$

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике