Question

Найдите наименьшее значение функции $y = x\sqrt{x} - 9x + 23$ на отрезке $[1; 49]$.

Accepted Answer

-85

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, определить характер монотонности и вычислить значение функции в точке минимума.

Вычислим производную:
$$y' = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 9$$

Приравняем её к нулю:
$$\frac{3}{2}\sqrt{x} - 9 = 0$$

$$\sqrt{x} = 6$$

$$x = 36$$

Проверим знак производной на интервалах:
- При $x \in [1; 36)$: $y' < 0$ (функция убывает)
- При $x \in (36; 49]$: $y' > 0$ (функция возрастает)

Следовательно, $x = 36$ — точка минимума на данном отрезке.

Вычислим значение функции в этой точке:
$$y(36) = 36 \cdot 6 - 9 \cdot 36 + 23 = 216 - 324 + 23 = -85$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике