Question

Найдите наименьшее значение функции $y = (x - 8)^2(x - 7) - 8$ на отрезке $[7{,}5; 18]$.

Accepted Answer

-8

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, определить характер монотонности и вычислить значение в точке минимума.

Вычислим производную:

$$y' = 2(x - 8)(x - 7) + (x - 8)^2$$

Вынесем общий множитель:

$$y' = (x - 8)[2(x - 7) + (x - 8)]$$

$$y' = (x - 8)(3x - 22)$$

Приравняем производную к нулю:

$$(x - 8)(3x - 22) = 0$$

Получаем критические точки: $x = 8$ и $x = \frac{22}{3} \approx 7{,}33$.

Точка $x = \frac{22}{3}$ лежит вне отрезка $[7{,}5; 18]$, поэтому рассматриваем только $x = 8$.

Анализируя знак производной на интервалах:
- при $x \in [7{,}5; 8)$ имеем $y' < 0$ (функция убывает);
- при $x \in (8; 18]$ имеем $y' > 0$ (функция возрастает).

Следовательно, $x = 8$ — точка минимума на данном отрезке.

Вычислим значение в этой точке:

$$y(8) = (8 - 8)^2(8 - 7) - 8 = 0 \cdot 1 - 8 = -8$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике