Question

а) Решите уравнение $\sin 2x + \sqrt{2}\cos(x + \pi) = 0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить формулы двойного угла и приведения, затем разложить на множители.

**а) Решение уравнения**

Используем формулу двойного угла и свойство косинуса:

$$\sin 2x + \sqrt{2}\cos(x + \pi) = 0$$

$$2\sin x \cos x + \sqrt{2} \cdot (-\cos x) = 0$$

$$2\sin x \cos x - \sqrt{2}\cos x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$\cos x(2\sin x - \sqrt{2}) = 0$$

Отсюда получаем два случая.

**Случай 1:** $\cos x = 0$

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

или эквивалентно:

$$x = \pm\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**Случай 2:** $2\sin x = \sqrt{2}$

$$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

$$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке**

Найдём корни, принадлежащие $\left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right]$.

Из семейства $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$:
- При $k = 5$: $x = \frac{\pi}{2} + 5\pi = \frac{11\pi}{2}$ — выходит за границы отрезка.
- При $k = 6$: $x = \frac{\pi}{2} + 6\pi = \frac{13\pi}{2}$ — выходит за границы отрезка.

Проверим через $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ и $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$:
- $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 2 = \frac{9\pi}{2}$ ✓ (граница отрезка)
- $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 2 = \frac{7\pi}{2}$ ✓

Из семейства $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$:
- При $k = 1$: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$ — не входит в отрезок.
- При $k = 2$: $x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4}$ ✓

Из семейства $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:
- При $k = 1$: $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$ — не входит в отрезок.
- При $k = 2$: $x = \frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{19\pi}{4}$ — выходит за границы отрезка.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике