Question

Окружность проходит через вершины $A$, $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$, пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $E$ и пересекает продолжение стороны $CD$ за точку $D$ в точке $K$.

а) Докажите, что $AE = AK$.

б) Найдите отношение $KE : BD$, если $\angle BAD = 60°$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать свойства вписанного четырёхугольника и параллельности сторон параллелограмма для установления равенства углов.

**а) Доказательство**

Четырёхугольник $ABED$ вписан в окружность. Поскольку $BC \parallel AD$, четырёхугольник $ABED$ является равнобедренной трапецией, откуда следует:

$$\angle ADE = \angle BAD$$

Из параллельности $BC \parallel AD$ получаем, что углы $\angle ADK$ и $\angle BCD$ равны как соответственные:

$$\angle ADK = \angle BCD$$

Но $\angle BCD = \angle BAD$ (противоположные углы параллелограмма равны), поэтому:

$$\angle ADE = \angle ADK$$

Это означает, что точки $E$ и $K$ лежат на одной прямой, проходящей через $A$ и $D$, под одинаковым углом. Следовательно, треугольник $AEK$ равнобедренный:

$$AE = AK$$

**б) Нахождение отношения**

Из условия $\angle BAD = 60°$ и доказанного выше имеем:

$$\angle EDA = \angle ADK = \angle BAD = 60°$$

Тогда:

$$\angle EDK = 180° - 60° - 60° = 120°$$

Четырёхугольник $EDKA$ вписан в окружность, поэтому сумма противоположных углов равна $180°$:

$$\angle EAK + \angle EDK = 180°$$

$$\angle EAK = 180° - 120° = 60°$$

Поскольку $\angle BAD = \angle EAK = 60°$ и $AE = AK$, треугольник $AEK$ равносторонний. Аналогично, треугольник $ABD$ также равносторонний (так как $\angle BAD = 60°$ и $AB = AD$ в параллелограмме с этим углом).

Из равносторонности обоих треугольников:

$$EK = BD$$

$$\frac{KE}{BD} = 1$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике