Question

а) Решите уравнение $8 \cdot 16^{\sin^2 x} - 2 \cdot 4^{\cos 2x} = 63$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{7\pi}{2}; 5\pi\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: свести уравнение к одному основанию степени, выполнить замену переменной и решить квадратное уравнение.

**а) Решение уравнения**

Преобразуем исходное уравнение, приведя все степени к основанию 4.

$$16^{\sin^2 x} = (4^2)^{\sin^2 x} = 4^{2\sin^2 x}$$

Для второго слагаемого используем $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$$4^{\cos 2x} = 4^{1 - 2\sin^2 x} = \frac{4}{4^{2\sin^2 x}}$$

Подставим в исходное уравнение:

$$8 \cdot 4^{2\sin^2 x} - 2 \cdot \frac{4}{4^{2\sin^2 x}} = 63$$

Обозначим $t = 4^{2\sin^2 x}$, где $t > 0$:

$$8t - \frac{8}{t} = 63$$

Умножим обе части на $t$:

$$8t^2 - 8 = 63t$$

$$8t^2 - 63t - 8 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 63^2 + 4 \cdot 8 \cdot 8 = 3969 + 256 = 4225 = 65^2$$

Найдём корни:

$$t_1 = \frac{63 - 65}{16} = \frac{-2}{16} = -\frac{1}{8} < 0 	ext{ (не подходит)}$$

$$t_2 = \frac{63 + 65}{16} = \frac{128}{16} = 8$$

Вернёмся к исходной переменной:

$$4^{2\sin^2 x} = 8$$

$$2^{4\sin^2 x} = 2^3$$

$$4\sin^2 x = 3$$

$$\sin^2 x = \frac{3}{4}$$

$$\sin x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$$

При $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

$$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

При $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

$$x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке**

Найдём значения корней, попадающие в $\left[\frac{7\pi}{2}; 5\piight]$.

Для семейства $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ при $k = 2$:

$$x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$$

Для семейства $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ при $k = 2$:

$$x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3}$$

Для семейства $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ при $k = 2$:

$$x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$$

Проверим принадлежность отрезку $\left[\frac{7\pi}{2}; 5\piight] = \left[\frac{10{,}5\pi}{3}; \frac{15\pi}{3}ight]$:

- $\frac{11\pi}{3} \in \left[\frac{10{,}5\pi}{3}; \frac{15\pi}{3}ight]$ ✓
- $\frac{13\pi}{3} \in \left[\frac{10{,}5\pi}{3}; \frac{15\pi}{3}ight]$ ✓
- $\frac{14\pi}{3} \in \left[\frac{10{,}5\pi}{3}; \frac{15\pi}{3}ight]$ ✓

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/tDxN7wvhWCKroI4oaVp4s3sSQptXAVnLZvrNMc6K.jpg)

Задание №13УравненияЕГЭ по математике