Question

Прямая, проходящая через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$ перпендикулярно диагонали $AC$, пересекает сторону $AD$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.

а) Докажите, что $\angle ABM = \angle DBC = 30°$.

б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $CM$, если $BC = 9$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать равнобедренность треугольника $BMD$ и свойства параллельных сторон прямоугольника для установления равенства трёх углов, на которые делится прямой угол.

**а) Доказательство**

Поскольку $M$ равноудалена от $B$ и $D$, треугольник $BMD$ равнобедренный, откуда:

$$\angle MBD = \angle MDB$$

Углы $\angle MBD$ и $\angle DBC$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$.

Диагонали прямоугольника точкой пересечения $O$ делятся пополам, поэтому треугольник $AOD$ равнобедренный:

$$\angle ODA = \angle OAD$$

Прямая $BM$ перпендикулярна диагонали $AC$, пересекая её в точке $K$. В прямоугольном треугольнике $ABM$ высота $BK$, опущенная из прямого угла, создаёт подобие:

$$	riangle AKB \sim 	riangle ABM \Rightarrow \angle ABM = \angle MAK$$

Из условия перпендикулярности $BM \perp AC$ следует, что $\angle MAK = \angle MBD$.

Таким образом, угол $\angle ABC = 90°$ разбивается на три равных части:

$$\angle ABM = \angle MBD = \angle DBC = \frac{90°}{3} = 30°$$

**б) Вычисление расстояния**

Обозначим $AM = x$. Из условия $\angle ABM = 30°$ в прямоугольном треугольнике $ABM$:

$$BM = 2x = MD$$

Сторона $AD$ равна $BC = 9$, поэтому:

$$AM + MD = 3x = 9 \Rightarrow x = 3$$

Следовательно, $MD = 6$.

Из треугольника $ABM$:

$$	an 30° = \frac{AM}{AB} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow AB = 3\sqrt{3}$$

В равнобедренном треугольнике $BMD$ точка $O$ (центр прямоугольника, лежащая на $AD$) является серединой основания, поэтому $MO$ — медиана и высота. Из треугольника $MOD$:

$$	an 30° = \frac{MO}{OD} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow MO = 3$$

По теореме Пифагора в треугольнике $MDC$:

$$MC = \sqrt{MD^2 + CD^2} = \sqrt{36 + 27} = 3\sqrt{7}$$

Диагональ прямоугольника: $OC = \frac{1}{2}\sqrt{AB^2 + BC^2} = \frac{1}{2}\sqrt{27 + 81} = 3\sqrt{3}$.

По теореме косинусов в треугольнике $OMC$:

$$\cos \angle OCM = \frac{OC^2 + MC^2 - OM^2}{2 \cdot OC \cdot MC} = \frac{27 + 63 - 9}{2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{7}} = \frac{81}{18\sqrt{21}} = \frac{3\sqrt{21}}{14}$$

$$\sin \angle OCM = \sqrt{1 - \frac{27}{196}} = \sqrt{\frac{169}{196}} = \frac{13}{14}$$

Расстояние от $O$ до прямой $CM$ равно:

$$OL = OC \cdot \sin \angle OCM = 3\sqrt{3} \cdot \frac{13}{14} = \frac{39\sqrt{3}}{14}$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/LsGO6RMVKUCKnqFs7E1UqFC60EWUqwe9TWVU1eM7.jpg)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/nvw8CjK8CijFFXKsyHWQffN5f2ptMjENhyYDD0bK.jpg)

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике