Question

а) Решите уравнение: $\sin 2x + 2\sin^2 x = 0$

б) Найдите корни, принадлежащие промежутку $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить формулу двойного угла для синуса, вынести общий множитель и решить совокупность двух уравнений.

**а) Решение основного уравнения**

Используя формулу $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, преобразуем уравнение:

$$2\sin x \cos x + 2\sin^2 x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$2\sin x(\cos x + \sin x) = 0$$

Разделим на 2:

$$\sin x(\cos x + \sin x) = 0$$

Получаем совокупность двух уравнений.

**Случай 1:** $\sin x = 0$

$$x_1 = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**Случай 2:** $\cos x + \sin x = 0$

$$\sin x = -\cos x$$

При $\cos x 
eq 0$ разделим обе части на $\cos x$:

$$	an x = -1$$

$$x_2 = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

или эквивалентно:

$$x_2 = \frac{3\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на промежутке $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}ight]$**

**Для первого семейства** $x_1 = \pi k$:

$$-2\pi \leq \pi k \leq -\frac{\pi}{2}$$

Разделим на $\pi$:

$$-2 \leq k \leq -\frac{1}{2}$$

Целые значения: $k = -2$ и $k = -1$.

При $k = -2$: $x = -2\pi$

При $k = -1$: $x = -\pi$

**Для второго семейства** $x_2 = \frac{3\pi}{4} + \pi k$:

$$-2\pi \leq \frac{3\pi}{4} + \pi k \leq -\frac{\pi}{2}$$

Умножим на 4:

$$-8\pi \leq 3\pi + 4\pi k \leq -2\pi$$

Разделим на $\pi$:

$$-8 \leq 3 + 4k \leq -2$$

Вычтем 3:

$$-11 \leq 4k \leq -5$$

Разделим на 4:

$$-\frac{11}{4} \leq k \leq -\frac{5}{4}$$

Единственное целое значение: $k = -2$.

При $k = -2$: $x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$

Задание №13УравненияЕГЭ по математике