Question

а) Решите уравнение:

$$\frac{\log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x)}{2\cos x + \sqrt{3}} = 0$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[0; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю и знаменатель не равен нулю; решаем уравнение для логарифма через замену.

**Область допустимых значений:**

Для существования логарифма и ненулевого знаменателя требуется:

$$\begin{cases}
\sin x > 0 \
2\cos x + \sqrt{3} 
eq 0
\end{cases}$$

**Решение уравнения:**

Числитель обращается в нуль:

$$\log_2(\sin x) \cdot (\log_2(\sin x) + 1) = 0$$

Отсюда либо $\log_2(\sin x) = 0$, либо $\log_2(\sin x) = -1$.

**Первый случай:** $\log_2(\sin x) = 0$

$$\sin x = 1$$

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**Второй случай:** $\log_2(\sin x) = -1$

$$\sin x = \frac{1}{2}$$

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

или

$$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Проверим ограничение $2\cos x + \sqrt{3} 
eq 0$ для найденных решений. Для всех полученных значений $x$ знаменатель не обращается в нуль.

**Ответ к пункту а):** $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

**Пункт б) — отбор корней на отрезке $\left[0; \frac{3\pi}{2}ight]$:**

Из семейства $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$:
- При $k = 0$: $x = \frac{\pi}{2}$ ✓

Из семейства $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$:
- При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{6}$ ✓

Из семейства $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$:
- При $n = 0$: $x = \frac{5\pi}{6}$ ✓

Задание №13УравненияЕГЭ по математике