Question

а) Решите уравнение $2\sin x \cdot \cos^2 x + \sqrt{3} = \sqrt{3}\sin^2 x$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{7\pi}{2}; 5\pi\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать уравнение через основное тригонометрическое тождество, разложить на множители и решить совокупность простейших уравнений.

**а) Решение уравнения**

Заменим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$$2\sin x \cdot (1 - \sin^2 x) + \sqrt{3} - \sqrt{3}\sin^2 x = 0$$

Вынесем общие множители:

$$2\sin x \cdot (1 - \sin^2 x) + \sqrt{3}(1 - \sin^2 x) = 0$$

Разложим на множители:

$$(2\sin x + \sqrt{3})(1 - \sin^2 x) = 0$$

Получаем два случая:

**Случай 1:** $2\sin x + \sqrt{3} = 0$

$$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$
$$x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**Случай 2:** $1 - \sin^2 x = 0$

$$\cos^2 x = 0$$

$$\cos x = 0$$

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[\frac{7\pi}{2}; 5\pi\right]$**

Проверим каждую серию решений.

Для $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$: при $n = 3$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2}$; при $n = 4$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2}$.

Для $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$: при $n = 1$ получаем $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3} > 5\pi$ (не подходит).

Для $x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$: при $n = 1$ получаем $x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi = \frac{11\pi}{3}$.

Проверим, что $\frac{11\pi}{3} \in \left[\frac{7\pi}{2}; 5\pi\right]$: $\frac{7\pi}{2} = \frac{21\pi}{6} \approx 3{,}5\pi$, $\frac{11\pi}{3} \approx 3{,}67\pi$, $5\pi = 5\pi$. Условие выполнено.

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/nm8Ps8MbURjJpn7qnePybbXwczFTUgZYmbKdyxSe.jpg)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/1XnswdpPu76VP5JKFWvTlZHttPPC60baZ63B2fYX.jpg)

Задание №13УравненияЕГЭ по математике