Question

Решите неравенство:

$$\log_{25}\left((x-4)(x^2-2x-8)\right)+1\geq 0{,}5\log_5(x-4)^2$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить подлогарифмическое выражение, привести логарифмы к одному основанию и решить рациональное неравенство.

**Область допустимых значений:**

Требуется $(x-4)(x^2-2x-8)>0$ и $(x-4)^2>0$.

Разложим квадратный трёхчлен: $x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$.

Тогда первое условие принимает вид $(x-4)^2(x+2)>0$, второе — $(x-4)^2>0$.

Оба условия выполнены при $x\in(-2;4)\cup(4;+\infty)$.

**Решение неравенства:**

Приведём логарифмы к основанию 25. Заметим, что $0{,}5\log_5(x-4)^2=\log_5|x-4|=\log_{25}(x-4)^2$.

Перепишем исходное неравенство:

$$\log_{25}((x-4)^2(x+2))+\log_{25}25\geq\log_{25}(x-4)^2$$

$$\log_{25}(25(x-4)^2(x+2))\geq\log_{25}(x-4)^2$$

Так как логарифм — возрастающая функция:

$$(x-4)^2 \cdot 25(x+2)\geq(x-4)^2$$

$$(x-4)^2(25(x+2)-1)\geq 0$$

$$(x-4)^2(25x+50-1)\geq 0$$

$$(x-4)^2(25x+49)\geq 0$$

Множитель $(x-4)^2\geq 0$ при всех $x$. Неравенство выполнено, когда либо $(x-4)^2=0$ (то есть $x=4$), либо $25x+49\geq 0$ (то есть $x\geq -\frac{49}{25}$).

Получаем $x\in\left[-\frac{49}{25};+\infty\right)$.

**Пересечение с ОДЗ:**

$$x\in\left[-\frac{49}{25};+\infty\right)\cap((-2;4)\cup(4;+\infty))=\left[-\frac{49}{25};4\right)\cup(4;+\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике