Question

а) Решите уравнение $\sqrt{2}\sin\left( 2x+\frac{\pi}{4} \right)+\sqrt{2}\cos x=\sin 2x-1$.

б) Найдите его решения, принадлежащие отрезку $\left[ -\frac{5\pi}{2};-\pi \right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: развернуть синус суммы, привести подобные, разложить на множители и решить совокупность простейших тригонометрических уравнений.

**а) Решение уравнения**

Раскроем синус суммы в левой части:

$$\sqrt{2}\left(\sin 2x \cos \frac{\pi}{4} + \cos 2x \sin \frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{2}\cos x=\sin 2x-1$$

$$\sqrt{2}\left(\sin 2x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos 2x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\sqrt{2}\cos x=\sin 2x-1$$

$$\sin 2x + \cos 2x+\sqrt{2}\cos x=\sin 2x-1$$

Упростим, сокращая $\sin 2x$:

$$\cos 2x+\sqrt{2}\cos x=-1$$

Применим формулу $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$$2\cos^2 x - 1+\sqrt{2}\cos x=-1$$

$$2\cos^2 x+\sqrt{2}\cos x=0$$

$$\cos x(2\cos x+\sqrt{2})=0$$

Получаем два случая:

**Случай 1:** $\cos x=0$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**Случай 2:** $2\cos x+\sqrt{2}=0$

$$\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

$$x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[ -\frac{5\pi}{2};-\pi \right]$**

Используя числовую окружность, найдём значения, попадающие в указанный промежуток.

Из семейства $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$:
- При $k=-2$: $x=\frac{\pi}{2}-2\pi=-\frac{3\pi}{2}$ ✓
- При $k=-3$: $x=\frac{\pi}{2}-3\pi=-\frac{5\pi}{2}$ ✓

Из семейства $x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$:
- При $n=-1$: $x=\frac{3\pi}{4}-2\pi=-\frac{5\pi}{4}$ ✓

Из семейства $x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi m$:
- При $m=0$: $x=-\frac{3\pi}{4}$ (не входит в отрезок)
- При $m=-1$: $x=-\frac{3\pi}{4}-2\pi=-\frac{11\pi}{4}$ (не входит в отрезок)

Задание №13УравненияЕГЭ по математике