Question

Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $2a(x+1)^2 - |x+1| + 1 = 0$ имеет ровно 4 различных корня.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: заменить $|x+1|$ на новую переменную и потребовать, чтобы вспомогательное квадратное уравнение имело два положительных корня. Заметим, что $(x+1)^2 = |x+1|^2$, поэтому исходное уравнение переписывается как: $$2a|x+1|^2 - |x+1| + 1 = 0$$ Введём замену $t = |x+1|$, где $t \geq 0$. Получаем: $$2at^2 - t + 1 = 0$$ Проанализируем связь между корнями в переменной $t$ и исходной переменной $x$: - если $t = 0$, то $|x+1| = 0$, откуда $x = -1$ (один корень); - если $t > 0$, то $|x+1| = t$ даёт два корня: $x = -1 + t$ и $x = -1 - t$. Чтобы исходное уравнение имело ровно 4 корня, необходимо, чтобы уравнение $2at^2 - t + 1 = 0$ имело два положительных корня. Рассмотрим функцию $f(t) = 2at^2 - t + 1$. Это парабола с ветвями, направленными вверх при $a > 0$. Заметим, что $f(0) = 1 > 0$. Для наличия двух положительных корней необходимо: 1) **Положительный дискриминант:** $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2a \cdot 1 = 1 - 8a > 0$$ $$a < \frac{1}{8}$$ 2) **Положительный коэффициент при $t^2$:** $$2a > 0$$ $$a > 0$$ 3) **Вершина параболы в положительной области:** $$t_{ ext{верш}} = \frac{1}{4a} > 0$$ При $a > 0$ это условие выполняется автоматически. Объединяя условия: $$\begin{cases} 1 - 8a > 0 \ a > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a < \frac{1}{8} \ a > 0 \end{cases}$$ $$a \in \left(0; \frac{1}{8} ight)$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике