Question

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 9. Боковые рёбра призмы равны $\frac{2}{\pi}$ . Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/VYPsbqm4SEZCKUZ8AO4XrW1EofhtGmqqTAaRj1N4.jpg)

Accepted Answer

90,5

Answer

Идея решения: использовать формулу объёма цилиндра, найти радиус описанной окружности через гипотенузу прямоугольного треугольника и приравнять высоту цилиндра боковому ребру призмы.

Объём цилиндра вычисляется по формуле:

$$V = \pi r^2 h$$

Прямоугольный треугольник, служащий основанием призмы, вписан в основание цилиндра. Это означает, что гипотенуза треугольника совпадает с диаметром окружности основания.

По теореме Пифагора найдём гипотенузу:

$$d = \sqrt{10^2 + 9^2} = \sqrt{181}$$

Радиус основания цилиндра:

$$r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{181}}{2}$$

Высота цилиндра равна боковому ребру призмы:

$$h = \frac{2}{\pi}$$

Подставим в формулу объёма:

$$V = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{181}}{2}\right)^2 \cdot \frac{2}{\pi} = \pi \cdot \frac{181}{4} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{181}{2} = 90{,}5$$

Задание №3СтереометрияЕГЭ по математике