Question

В основании правильной треугольной пирамиды $ABCD$ лежит треугольник $ABC$ со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре $AD$ отмечена точка $T$ так, что $AT:TD=1:2$ . Через точку $T$ параллельно прямым $AC$ и $BD$ проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: построить сечение как параллелограмм с параллельными сторонами, затем доказать перпендикулярность его сторон и вычислить площадь через подобные треугольники.

**а) Доказательство**

Через точку $T$ проведём прямую, параллельную $BD$, которая пересекает ребро $AB$ в точке $N$. Через точку $T$ проведём прямую, параллельная $AC$, которая пересекает ребро $CD$ в точке $M$. Через точку $M$ проведём прямую, параллельную $BD$, которая пересекает ребро $BC$ в точке $E$. Соединим точки $N$ и $E$.

По условию пирамида правильная, поэтому основание — равносторонний треугольник:

$$AB = BC = AC = 5$$

и боковые рёбра равны:

$$AD = BD = CD = 9$$

Применим теорему о пропорциональных отрезках. Из условия $TN \parallel BD$ в треугольнике $ABD$:

$$\frac{AN}{NB} = \frac{AT}{TD} = \frac{1}{2}$$

Из условия $TM \parallel AC$ в треугольнике $ACD$:

$$\frac{CM}{MD} = \frac{AT}{TD} = \frac{1}{2}$$

Из условия $ME \parallel BD$ в треугольнике $BCD$:

$$\frac{CE}{EB} = \frac{CM}{MD} = \frac{1}{2}$$

Поскольку $\frac{CE}{EB} = \frac{AN}{NB} = \frac{1}{2}$, по обратной теореме о пропорциональных отрезках получаем $NE \parallel AC$.

Таким образом, $TM \parallel NE$ и $TN \parallel ME$, следовательно, четырёхугольник $TMEN$ — параллелограмм.

Обозначим $H$ — основание высоты из вершины $B$ в треугольнике $ABC$. Тогда $H$ лежит на $AC$. Проведём высоту из $D$ в треугольнике $ADC$; она также проходит через $H$ и перпендикулярна $AC$. Следовательно, $DH \perp AC$ и $BH \perp AC$, откуда по теореме о трёх перпендикулярах получаем $BD \perp AC$.

Поскольку $TN \parallel BD$ и $NE \parallel AC$, имеем $TN \perp NE$.

Параллелограмм $TMEN$ с прямым углом является прямоугольником.

**б) Вычисление площади**

Рассмотрим треугольники $ANT$ и $ABD$. Они имеют общий угол $\angle DAB$, и

$$\frac{AN}{AB} = \frac{AT}{AD} = \frac{1}{3}$$

По признаку подобия $	riangle ANT \sim 	riangle ABD$, поэтому

$$\frac{NT}{BD} = \frac{1}{3}$$

$$NT = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$$

Рассмотрим треугольники $TDM$ и $ADC$. Они имеют общий угол $\angle ADC$, и

$$\frac{TD}{AD} = \frac{DM}{DC} = \frac{2}{3}$$

По признаку подобия $	riangle TDM \sim 	riangle ADC$, поэтому

$$\frac{TM}{AC} = \frac{2}{3}$$

$$TM = \frac{2}{3} \cdot 5 = \frac{10}{3}$$

Площадь прямоугольника:

$$S = NT \cdot TM = 3 \cdot \frac{10}{3} = 10$$

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике