Question

Найдите наибольшее значение функции $y = x^3 + 6x^2 + 9x + 21$ на отрезке $[-3; 0]$.

Accepted Answer

21

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, определить характер монотонности на отрезке и вычислить значения на концах и в критических точках. Вычислим производную: $$y' = 3x^2 + 12x + 9$$ Приравняем её к нулю: $$3x^2 + 12x + 9 = 0$$ Разделим на 3: $$x^2 + 4x + 3 = 0$$ Решая квадратное уравнение, получаем: $$x = -3; \quad x = -1$$ Оба корня принадлежат отрезку $[-3; 0]$. Используя метод интервалов, определяем знаки производной: - при $x < -3$: $y' > 0$ (функция возрастает); - при $-3 < x < -1$: $y' < 0$ (функция убывает); - при $x > -1$: $y' > 0$ (функция возрастает). Следовательно, $x = -3$ — точка локального максимума, $x = -1$ — точка локального минимума. На отрезке $[-3; 0]$ наибольшее значение достигается в левом конце: $$y(-3) = (-3)^3 + 6 \cdot (-3)^2 + 9 \cdot (-3) + 21 = -27 + 54 - 27 + 21 = 21$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике