Question

На доске записано 10 натуральных чисел, все различные. Известно, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести из этих чисел — целое число. Одно из чисел равно 30021.

а) Может ли среди них быть число 351?
б) Может ли отношение двух из них равняться 11?
в) Отношение двух из них является целым числом $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: установить, на какое число должна делиться разность любых двух чисел, используя условие целостности средних арифметических.

Если среднее арифметическое $n$ чисел целое, то их сумма делится на $n$.

Рассмотрим два набора по три числа, содержащих два общих элемента. Пусть $a$ и $b$ — общие числа, $x_1$ и $x_2$ — различные третьи элементы. Тогда:

$$a + b + x_1 = 3M_1$$

$$a + b + x_2 = 3M_2$$

где $M_1$ и $M_2$ — целые числа.

Вычитая первое уравнение из второго:

$$x_1 - x_2 = 3(M_1 - M_2)$$

Следовательно, разность любых двух чисел делится на 3.

Аналогично, рассматривая наборы по четыре, пять и шесть чисел, получаем, что разность любых двух чисел делится на 4, 5 и 6 соответственно.

Таким образом, разность любых двух чисел делится на $	ext{НОК}(3, 4, 5, 6) = 60$.

Это означает, что все числа имеют одинаковый остаток при делении на 60. Поскольку $30021 = 60 \cdot 500 + 21$, все числа имеют вид $60k + 21$.

**а)** Проверим число 351:

$$30021 - 351 = 29670 = 60 \cdot 494 + 30$$

Остаток равен 30, а не 0. Следовательно, 351 не может быть на доске.

Задание №19Параметры и теория чиселЕГЭ по математике