Question

Решите неравенство:

$$\frac{\log_{9}(2-x)-\log_{15}(2-x)}{\log_{15}x-\log_{25}x}\leq\log_{25}9$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: проанализировать знаки числителя и знаменателя на каждом интервале области определения. Область определения требует выполнения условий: $$2-x>0, \quad x>0, \quad x eq1$$ Следовательно, $x \in (0;1) \cup (1;2)$. **Случай 1: $0 < x < 1$** При таких значениях $x$ имеем $\log_{15}x < 0$ и $\log_{25}x < 0$. Поскольку основание 25 больше основания 15, получаем: $$\log_{15}x < \log_{25}x < 0$$ Значит, $\log_{15}x - \log_{25}x < 0$. Для числителя: при $0 < 2-x < 2$ основание 9 меньше основания 15, поэтому: $$\log_{9}(2-x) > \log_{15}(2-x)$$ Следовательно, $\log_{9}(2-x) - \log_{15}(2-x) > 0$. Левая часть неравенства имеет положительный числитель и отрицательный знаменатель, поэтому она отрицательна. Поскольку $\log_{25}9 > 0$, неравенство выполняется. **Случай 2: $1 < x < 2$** При таких значениях $x$ имеем $\log_{15}x > 0$ и $\log_{25}x > 0$. Так как основание 25 больше основания 15: $$0 < \log_{25}x < \log_{15}x$$ Значит, $\log_{15}x - \log_{25}x > 0$. Для числителя: при $0 < 2-x < 1$ основание 9 меньше основания 15, поэтому: $$\log_{9}(2-x) < \log_{15}(2-x)$$ Следовательно, $\log_{9}(2-x) - \log_{15}(2-x) < 0$. Левая часть неравенства имеет отрицательный числитель и положительный знаменатель, поэтому она отрицательна. Неравенство выполняется. Таким образом, решение исходного неравенства — объединение интервалов $(0;1)$ и $(1;2)$.

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике