Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств

$$\left\{ \begin{array}{c} x \leq 2a + 6 \ 6x \geq x^2 + a^2 \ x + a > 0 \end{array} ight.$$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[1; 2]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: переформулировать систему в виде условий на параметр $a$ в зависимости от $x$, затем найти значения $a$, при которых существует хотя бы одна точка $x \in [1; 2]$, удовлетворяющая всем трём условиям одновременно.

Перепишем систему, выразив условия относительно $a$:

$$\left\{ \begin{array}{c} a \geq \frac{x}{2} - 3 \ a^2 + x^2 - 6x \leq 0 \ a > -x \end{array} ight.$$

Преобразуем второе неравенство, выделив полный квадрат:

$$a^2 + x^2 - 6x + 9 \leq 9$$

$$a^2 + (x - 3)^2 \leq 9$$

Это неравенство описывает круг радиуса 3 с центром в точке $(3; 0)$ на плоскости $(x, a)$.

Система задаёт область, ограниченную:
- прямой $a = \frac{x}{2} - 3$ (снизу);
- окружностью $a^2 + (x - 3)^2 = 9$ (сверху и снизу);
- прямой $a = -x$ (снизу).

Для отрезка $[1; 2]$ найдём граничные значения $a$.

**При $x = 1$:**

Из второго условия: $a^2 + (1 - 3)^2 \leq 9$, откуда $a^2 \leq 5$, то есть $a \in [-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$.

Из первого условия: $a \geq \frac{1}{2} - 3 = -\frac{5}{2}$.

Из третьего условия: $a > -1$.

Пересечение: $a \in (-1; \sqrt{5}]$.

**При $x = 2$:**

Из второго условия: $a^2 + (2 - 3)^2 \leq 9$, откуда $a^2 \leq 8$, то есть $a \in [-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}]$.

Из первого условия: $a \geq 1 - 3 = -2$.

Из третьего условия: $a > -2$.

Пересечение: $a \in (-2; 2\sqrt{2}]$.

Система имеет решение на $[1; 2]$ при условии, что существует хотя бы одна точка $x \in [1; 2]$, для которой все три неравенства выполнены одновременно. Анализируя геометрию области (см. рисунок), получаем, что допустимые значения $a$ образуют интервал.

Нижняя граница определяется условием $a > -2$ (достигается при $x = 2$).

Верхняя граница определяется верхней дугой окружности при $x = 1$, что даёт $a = \sqrt{5}$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике