Question

Решите неравенство:

$$\frac{10^{x}-25\cdot 2^{x}-2\cdot 5^{x}+50}{5x-x^{2}-4}\geq 0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить числитель на множители, преобразовать знаменатель и применить метод рационализации для показательных выражений.

Перепишем числитель, заметив, что $10^{x} = 5^{x} \cdot 2^{x}$:

$$\frac{5^{x}\cdot 2^{x}-25\cdot 2^{x}-2\cdot 5^{x}+50}{5x-x^{2}-4}\geq 0$$

Вынесем общие множители из пар слагаемых:

$$\frac{2^{x}(5^{x}-25)-2(5^{x}-25)}{5x-x^{2}-4}\geq 0$$

$$\frac{(5^{x}-25)(2^{x}-2)}{5x-x^{2}-4}\geq 0$$

Преобразуем знаменатель:

$$5x-x^{2}-4 = -(x^{2}-5x+4) = -(x-1)(x-4)$$

Получаем:

$$\frac{(5^{x}-25)(2^{x}-2)}{-(x-1)(x-4)}\geq 0$$

$$\frac{(5^{x}-25)(2^{x}-2)}{(x-1)(x-4)}\leq 0$$

Применим метод рационализации. Для показательных функций $a^{f(x)} - a^{g(x)}$ заменяем на $(a-1)(f(x)-g(x))$:

$$5^{x}-5^{2} 	o (5-1)(x-2) = 4(x-2)$$

$$2^{x}-2^{1} 	o (2-1)(x-1) = x-1$$

Неравенство принимает вид:

$$\frac{4(x-2) \cdot (x-1)}{(x-1)(x-4)}\leq 0$$

Сокращаем на $(x-1)$ (учитывая, что $x 
eq 1$):

$$\frac{4(x-2)}{x-4}\leq 0$$

$$\frac{x-2}{x-4}\leq 0$$

Решаем методом интервалов. Критические точки: $x = 2$ и $x = 4$.

На числовой оси:
- При $x < 2$: оба множителя отрицательны, дробь положительна.
- При $2 \leq x < 4$: числитель неотрицателен, знаменатель отрицателен, дробь неположительна.
- При $x > 4$: оба множителя положительны, дробь положительна.

Точка $x = 2$ входит в решение (равенство нулю допустимо), точка $x = 4$ исключена (знаменатель обращается в нуль).

$$x \in [2; 4)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике