Question

Решите неравенство:

$$\frac{117-15\cdot{3}^{x}}{{9}^{x}-36\cdot{3}^{x}+243}\geq 0{,}5$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: введём замену $t = 3^x$, приведём неравенство к рациональному виду, разложим на множители и применим метод интервалов. Обозначим $t = 3^x$, где $t > 0$. Заметим, что $9^x = t^2$. Перепишем неравенство: $$\frac{117-15t}{t^{2}-36t+243}\geq \frac{1}{2}$$ Перенесём правую часть влево: $$\frac{117-15t}{t^{2}-36t+243}-\frac{1}{2}\geq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{2(117-15t)-(t^{2}-36t+243)}{2(t^{2}-36t+243)}\geq 0$$ Упростим числитель: $$2(117-15t)-(t^{2}-36t+243) = 234-30t-t^{2}+36t-243 = -t^{2}+6t-9$$ Следовательно: $$\frac{-t^{2}+6t-9}{2(t^{2}-36t+243)}\geq 0$$ Умножим обе части на $-1$ (знак неравенства меняется): $$\frac{t^{2}-6t+9}{2(t^{2}-36t+243)}\leq 0$$ Разложим числитель и знаменатель. Числитель: $t^{2}-6t+9 = (t-3)^2$. Знаменатель: $t^{2}-36t+243 = (t-9)(t-27)$ (корни найдены по формуле: $t = \frac{36 \pm \sqrt{1296-972}}{2} = \frac{36 \pm 18}{2}$). Получаем: $$\frac{(t-3)^{2}}{2(t-9)(t-27)}\leq 0$$ Так как $(t-3)^2 \geq 0$ и коэффициент $2 > 0$, дробь неположительна только когда числитель равен нулю или знаменатель отрицателен. Числитель обращается в нуль при $t = 3$. Знаменатель отрицателен при $9 < t < 27$. Таким образом, решение в переменной $t$: $$t = 3 ext{ или } 9 < t < 27$$ Вернёмся к исходной переменной $x$. Из условия $t = 3^x$: При $t = 3$: $3^x = 3 \Rightarrow x = 1$. При $9 < t < 27$: $3^2 < 3^x < 3^3 \Rightarrow 2 < x < 3$. Объединяя оба случая: $$x = 1 ext{ или } 2 < x < 3$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике