Question

Найдите наибольшее значение функции $y = 10\sin x - \frac{42x}{\pi} - 12$ на отрезке $\left[-\frac{5\pi}{6}; 0\right]$.

Accepted Answer

18

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, установить монотонность функции и вычислить её значение на границе отрезка.

Вычислим производную:

$$y' = 10\cos x - \frac{42}{\pi}$$

Приравняем производную к нулю:

$$10\cos x - \frac{42}{\pi} = 0$$

$$\cos x = \frac{4{,}2}{\pi}$$

Поскольку $\frac{4{,}2}{\pi} \approx 1{,}34 > 1$, а косинус не превышает 1, уравнение решений не имеет.

Так как $\frac{42}{\pi} > 10$, производная $y' = 10\cos x - \frac{42}{\pi}$ остаётся отрицательной при всех $x$ (максимум косинуса равен 1, поэтому $10 \cdot 1 - \frac{42}{\pi} < 0$). Функция монотонно убывает на всём отрезке.

Следовательно, наибольшее значение достигается в левой границе $x = -\frac{5\pi}{6}$:

$$y\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = 10\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) - \frac{42 \cdot \left(-\frac{5\pi}{6}\right)}{\pi} - 12$$

$$= 10 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{42 \cdot 5\pi}{6\pi} - 12$$

$$= -5 + 35 - 12 = 18$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике