Question

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$\left| x^{2}-a^{2} \right|=\left| x+a \right|\cdot\sqrt{x^{2}-4ax+5a}$$
имеет ровно один корень.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить левую часть, разделить на общий множитель и рассмотреть два случая — когда множитель равен нулю и когда он ненулевой.

Разложим левую часть:
$$\left| (x-a)(x+a) ight|=\left| x+a ight|\cdot\sqrt{x^{2}-4ax+5a}$$

Переписав модуль произведения:
$$\left| x-a ight|\cdot\left| x+a ight|=\left| x+a ight|\cdot\sqrt{x^{2}-4ax+5a}$$

Рассмотрим совокупность двух случаев:

**Случай 1:** $\left| x+a ight|=0$ и подкоренное выражение неотрицательно.

**Случай 2:** $\left| x+a ight|
eq0$ и $\left| x-a ight|=\sqrt{x^{2}-4ax+5a}$.

Из первого случая получаем $x=-a$ при условии $x^{2}-4ax+5a\geq0$.

Подставим $x=-a$:
$$a^{2}+4a^{2}+5a\geq0$$
$$5a^{2}+5a\geq0$$
$$5a(a+1)\geq0$$

Это выполнено при $a\in(-\infty;-1]\cup[0;+\infty)$.

Для второго случая возведём обе части в квадрат:
$$(x-a)^{2}=x^{2}-4ax+5a$$
$$x^{2}-2ax+a^{2}=x^{2}-4ax+5a$$
$$2ax+a^{2}-5a=0$$
$$a^{2}+2ax-5a=0$$

При $a=0$ получаем $0=0$, что верно для всех $x$.

При $a
eq0$ решаем квадратное уравнение относительно $x$:
$$x=\frac{5a-a^{2}}{2a}=\frac{5-a}{2}$$

Проверим условие $x
eq-a$:
$$\frac{5-a}{2}
eq-a$$
$$5-a
eq-2a$$
$$5
eq-a$$
$$a
eq-5$$

Итак, второй случай даёт:
- При $a=0$: все $x\in\mathbb{R}$;
- При $a\in\mathbb{R}\setminus\{-5;0\}$: $x=\frac{5-a}{2}$.

Проанализируем количество решений:

При $a\in(0;+\infty)$: первый случай даёт решение $x=-a$, второй — решение $x=\frac{5-a}{2}$. Оба существуют, уравнение имеет два корня. Не подходит.

При $a=0$: второй случай даёт бесконечно много решений. Не подходит.

При $a\in(-1;0)$: первый случай не даёт решений (так как $a
otin(-\infty;-1]\cup[0;+\infty)$), второй случай даёт ровно одно решение $x=\frac{5-a}{2}$. Подходит.

При $a\in(-\infty;-1]\setminus\{-5\}$: оба случая дают по одному решению. Два корня. Не подходит.

При $a=-5$: первый случай даёт $x=5$ (проверка: $5(-5+1)=-20<0$ — не выполнено). Второй случай: $x=\frac{5-(-5)}{2}=5$, но условие $a
eq-5$ исключает это. Проверим первый случай заново: $5a(a+1)=5(-5)(-4)=100>0$, значит $x=-a=5$ — решение. Ровно одно решение. Подходит.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике