Question

Полная поверхность конуса имеет площадь 35. Плоскость, параллельная основанию, пересекает конус так, что делит его высоту в отношении 3 : 2, считая от вершины. Найдите площадь полной поверхности отсечённого (верхнего) конуса.

Конус с сечением

![Конус с сечением](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/1ijzzoLOt76p3DGnuiJyY52LWXEPv6iGShPecKcS.jpg)

Accepted Answer

12,6

Answer

Идея решения: использовать подобие конусов и связь между коэффициентом подобия и отношением площадей поверхностей.

Обозначим радиус основания отсечённого конуса через $R$, а его образующую через $l$. Площадь полной поверхности отсечённого конуса:

$$S_{	ext{отс}} = \pi R^2 + \pi R l$$

Малый конус (отсечённый) и исходный конус подобны. Высота отсечённого конуса составляет $\frac{3}{5}$ от полной высоты (так как высота делится в отношении 3 : 2). Следовательно, коэффициент подобия равен:

$$k = \frac{3}{3 + 2} = \frac{3}{5}$$

Радиус основания исходного конуса и его образующая в $\frac{5}{3}$ раз больше, чем у отсечённого:

$$R_{	ext{исх}} = \frac{5}{3}R, \quad l_{	ext{исх}} = \frac{5}{3}l$$

Площадь полной поверхности исходного конуса:

$$S_{	ext{исх}} = \pi \left(\frac{5}{3}Right)^2 + \pi \cdot \frac{5}{3}R \cdot \frac{5}{3}l = 35$$

Упростим:

$$\pi \cdot \frac{25}{9}R^2 + \pi \cdot \frac{25}{9}R \cdot l = 35$$

$$\frac{25}{9}\left(\pi R^2 + \pi R light) = 35$$

$$\pi R^2 + \pi R l = \frac{35 \cdot 9}{25} = \frac{315}{25} = 12{,}6$$

Задание №3СтереометрияЕГЭ по математике