Question

Найдите наибольшее значение функции $y = 3\ln(x+2) - 3x + 10$ на отрезке $[-1{,}5; 0]$.

Accepted Answer

13

Answer

Идея решения: найти критическую точку через производную, определить её характер и сравнить значения функции в критической точке и на границах отрезка.

Вычислим производную:

$$y' = \frac{3}{x+2} - 3$$

Приравняем к нулю:

$$\frac{3}{x+2} - 3 = 0$$

$$\frac{3}{x+2} = 3$$

$$x + 2 = 1$$

$$x = -1$$

Критическая точка $x = -1$ лежит внутри отрезка $[-1{,}5; 0]$.

Проанализируем знак производной на интервалах:
- При $x \in [-1{,}5; -1)$: $y' > 0$ (функция возрастает).
- При $x \in (-1; 0]$: $y' < 0$ (функция убывает).

Следовательно, $x = -1$ — точка локального максимума.

Вычислим значение функции в этой точке:

$$y(-1) = 3\ln(1) - 3 \cdot (-1) + 10 = 0 + 3 + 10 = 13$$

Проверим значения на границах:

$$y(-1{,}5) = 3\ln(0{,}5) + 4{,}5 + 10 = 3\ln(0{,}5) + 14{,}5 < 13$$

$$y(0) = 3\ln(2) + 10 \approx 3 \cdot 0{,}693 + 10 \approx 12{,}08 < 13$$

Наибольшее значение достигается в точке максимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике