Question

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $103°$ , угол $CAD$ равен $42°$ . Найдите угол $ABD$ . Ответ дайте в градусах.

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/fufKdAnswQ9UckPCDSyfcdnw45FbfxvkBLVsDfaY.png)

Accepted Answer

61

Answer

Идея решения: используем свойство вписанного угла, который равен половине дуги, на которую он опирается, чтобы найти дуги окружности и затем искомый угол.

Вписанный угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$. По свойству вписанного угла:

$$\cup ADC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 103° = 206°$$

Вписанный угол $CAD$ опирается на дугу $CD$:

$$\cup CD = 2 \cdot \angle CAD = 2 \cdot 42° = 84°$$

Найдём дугу $AD$:

$$\cup AD = \cup ADC - \cup CD = 206° - 84° = 122°$$

Угол $ABD$ — вписанный и опирается на дугу $AD$:

$$\angle ABD = \frac{1}{2} \cup AD = \frac{1}{2} \cdot 122° = 61°$$

Задание №1ПланиметрияЕГЭ по математике