Question

В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$ из вершины прямого угла. $AM$ и $CN$ — биссектрисы треугольников $ACH$ и $BCH$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $AM$ и $CN$ перпендикулярны.

б) Найдите длину отрезка $MN$, если $BC = 20$ и $\sin \angle ABC = \frac{1}{3}$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: установить угловые соотношения через параметризацию угла $A$, показать перпендикулярность пересечения биссектрис, а затем использовать свойства равнобедренных треугольников и теорему о биссектрисе.

**а) Доказательство перпендикулярности**

Обозначим $\angle A = 2\alpha$. Поскольку треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при $C$, имеем:

$$\angle B = 90° - 2\alpha$$

В треугольнике $CHB$ (где $CH$ — высота, поэтому $\angle CHB = 90°$):

$$\angle HCB = 90° - \angle B = 90° - (90° - 2\alpha) = 2\alpha$$

Так как $CN$ — биссектриса угла $\angle HCB$:

$$\angle HCN = \angle NCB = \alpha$$

Пусть $L$ — точка пересечения прямых $AM$ и $CN$. Заметим, что $\angle ACH = 90° - \angle A = 90° - 2\alpha$ (из прямоугольного треугольника $ACH$). Поскольку $AM$ — биссектриса угла $\angle CAH$:

$$\angle CAM = \alpha$$

В треугольнике $ACL$:

$$\angle ACL = \angle ACH + \angle HCN = (90° - 2\alpha) + \alpha = 90° - \alpha$$

$$\angle CAL = \alpha$$

Тогда:

$$\angle ALC = 180° - (90° - \alpha) - \alpha = 90°$$

Следовательно, $AM \perp CN$.

**б) Вычисление длины $MN$**

Из пункта а) известно, что $AL \perp CN$. Поскольку $AL$ одновременно является высотой и биссектрисой треугольника $ANC$, этот треугольник равнобедренный:

$$AC = AN$$

Это означает, что $AL$ — серединный перпендикуляр к отрезку $CN$, откуда:

$$CM = MN$$

По теореме о биссектрисе в треугольнике $ABC$ для биссектрисы из вершины $C$:

$$\frac{CK}{KB} = \frac{AC}{AB}$$

Из условия $\sin \angle ABC = \frac{1}{3}$:

$$\sin \angle ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{3}$$

Поэтому:

$$\frac{CK}{KB} = \frac{1}{3}$$

При $CB = 20$:

$$CK + KB = 20$$

$$CK = \frac{1}{4} \cdot 20 = 5, \quad KB = 15$$

Из равнобедренности треугольника $CMK$ (где $CL$ — одновременно высота и биссектриса):

$$CM = CK = 5$$

Следовательно:

$$MN = CM = 5$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/z7cFaKMiIFUL9e0UEOLFg01YaXacAbjYNnkHK6TV.jpg)

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике