Question

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD$.

а) Докажите, что луч $AC$ — биссектриса угла $\angle BAD$.

б) Найдите $CD$, если известны диагонали трапеции: $AC = 15$ и $BD = 8{,}5$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: из условия равнобедренности треугольников следует равенство боковых сторон трапеции, что позволяет применить свойства равнобедренного треугольника и накрест лежащих углов.

**а) Доказательство**

Из условия равнобедренности треугольника $ABD$ с основанием $AD$ получаем:
$$AB = BD$$

Из условия равнобедренности треугольника $BCD$ с основанием $CD$ получаем:
$$BC = BD$$

Следовательно:
$$AB = BC$$

Тогда треугольник $ABC$ равнобедренный, откуда:
$$\angle BCA = \angle BAC$$

Поскольку $BC \parallel AD$ (основания трапеции), углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны как накрест лежащие:
$$\angle BCA = \angle CAD$$

Из этих двух равенств получаем:
$$\angle BAC = \angle CAD$$

Следовательно, луч $AC$ делит угол $\angle BAD$ пополам, то есть является его биссектрисой. ✓

**б) Нахождение CD**

Обозначим $\angle BAC = \alpha$.

В треугольнике $ABC$ применим теорему косинусов. Поскольку $AB = BC = BD$, имеем:
$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \alpha$$

Подставляя $AB = BC$:
$$AB^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \alpha$$

$$0 = AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \alpha$$

$$\cos \alpha = \frac{AC}{2 \cdot AB}$$

Из равнобедренности треугольника $ABD$ имеем $AB = BD = 8{,}5$, поэтому:
$$\cos \alpha = \frac{15}{2 \cdot 8{,}5} = \frac{15}{17}$$

Найдём $\cos 2\alpha$:
$$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 2 \cdot \frac{225}{289} - 1 = \frac{450 - 289}{289} = \frac{161}{289}$$

Поскольку $BC \parallel AD$, углы $\angle BDA$ и $\angle DBC$ равны как накрест лежащие. Из равнобедренности треугольника $ABD$ получаем $\angle BDA = \angle BAD = \alpha$, поэтому:
$$\angle DBC = \alpha$$

Тогда $\angle BCD = 180° - 2\alpha$, откуда $\angle BDC = \alpha$ (из равнобедренности $BCD$), и:
$$\angle CBD = 180° - 2\alpha$$

Применим теорему косинусов в треугольнике $BCD$:
$$CD^2 = BD^2 + BC^2 - 2 \cdot BD \cdot BC \cdot \cos(\angle DBC)$$

Поскольку $BD = BC = 8{,}5$ и $\angle DBC = 2\alpha$:
$$CD^2 = BD^2 + BD^2 - 2 \cdot BD^2 \cdot \cos 2\alpha = 2BD^2(1 - \cos 2\alpha)$$

$$CD^2 = 2 \cdot 72{,}25 \cdot \left(1 - \frac{161}{289}\right) = 144{,}5 \cdot \frac{128}{289} = \frac{18496}{289} = 64$$

$$CD = 8$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике