Question

Решите неравенство:

$$x^{2}\log_{512}(4-x)\geq\log_{2}(x^{2}-8x+16)$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: привести логарифмы к одному основанию, упростить выражение под логарифмом и применить метод рационализации. Переведём логарифм по основанию 512 в основание 2: $$x^{2}\log_{2^{9}}(4-x)\geq\log_{2}(x-4)^{2}$$ Применим свойства логарифмов: $$x^{2} \cdot \frac{\log_{2}(4-x)}{9}\geq 2\log_{2}|x-4|$$ Заметим, что при $x < 4$ имеем $|x-4| = 4-x$, поэтому: $$\frac{x^{2}}{9}\log_{2}(4-x)\geq 2\log_{2}(4-x)$$ Перенесём всё в левую часть: $$\log_{2}(4-x)\left(\frac{x^{2}}{9}-2 ight)\geq 0$$ Определим область допустимых значений: $$\begin{cases} 4-x>0 \ (x-4)^{2}>0 \end{cases} \Rightarrow x < 4$$ Применим метод рационализации. Неравенство $\log_{a}f \cdot g \geq 0$ (где $a > 1$) равносильно $(a-1)(f-1) \cdot g \geq 0$: $$(2-1)(4-x-1)\left(\frac{x^{2}}{9}-2 ight)\geq 0$$ $$(3-x)\left(\frac{x^{2}}{9}-2 ight)\geq 0$$ Умножим второй множитель на 9: $$(3-x)(x^{2}-18)\geq 0$$ Найдём нули: $x = 3$, $x = \pm\sqrt{18} = \pm 3\sqrt{2}$. По методу интервалов (с учётом знаков множителей): $$x \in (-\infty; -3\sqrt{2}] \cup [3; 3\sqrt{2}]$$ Пересечём с ограничением $x < 4$: $$x \in (-\infty; -3\sqrt{2}] \cup [3; 4)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике