Question

В параллелограмме $ABCD$ угол $\angle BAC$ вдвое больше угла $\angle CAD$ . Биссектриса угла $\angle BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L$ . На продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбрана такая точка $E$ , что $AE = CE$ .

а) Докажите, что $AL \cdot BC = AB \cdot AC$ .

б) Найдите $EL$ , если $AC = 8$ и $\tan \angle BCA = \frac{1}{2}$ .

а) Докажите, что $AL \cdot BC = AB \cdot AC$.

б) Найдите $EL$, если $AC = 8$ и $	an \angle BCA = \frac{1}{2}$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: обозначить $\angle CAD = \alpha$, тогда $\angle BAC = 2\alpha$; использовать подобие треугольников для доказательства пункта а), а в пункте б) применить свойства равнобедренных треугольников и тригонометрию.

**а) Доказательство**

Обозначим $\angle CAD = \alpha$. Тогда $\angle BAC = 2\alpha$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, $\angle ACD = \angle CAD = \alpha$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$).

Биссектриса угла $\angle BAC$ делит его пополам, поэтому $\angle BAL = \angle LAC = \alpha$.

Рассмотрим треугольники $ABL$ и $CBA$:
- $\angle BAL = \angle BCA = \alpha$;
- $\angle ABC$ — общий угол.

Следовательно, $	riangle ABL \sim 	riangle CBA$ по двум углам.

Из подобия получаем:

$$\frac{AB}{CB} = \frac{AL}{CA}$$

Перекрёстным умножением:

$$AB \cdot AC = AL \cdot BC$$

Что и требовалось доказать.

**б) Нахождение $EL$**

Обозначим точку пересечения отрезков $AC$ и $LE$ как $K$.

Поскольку $AE = CE$, треугольник $AEC$ равнобедренный. Аналогично, из условия параллелограмма и построения точки $E$ следует, что $AL = LC$ (так как $L$ лежит на биссектрисе и $\angle LAC = \angle LCA = \alpha$), поэтому треугольник $ALC$ также равнобедренный.

Треугольники $ALE$ и $CLE$ равны по трём сторонам:
- $AE = CE$ (по условию);
- $AL = CL$ (из равнобедренности $	riangle ALC$);
- $LE$ — общая сторона.

Следовательно, $LE \perp AC$, и $K$ — середина $AC$, то есть $KC = \frac{1}{2} AC = 4$.

Из условия $	an \angle BCA = \frac{1}{2}$ и того, что $\angle BCA = \alpha$, имеем $	an \alpha = \frac{1}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $ALK$ (где $\angle AKL = 90°$):

$$	an \alpha = \frac{AK}{KC} \Rightarrow AK = KC \cdot 	an \alpha = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$

Для угла $2\alpha$ используем формулу двойного угла:

$$	an 2\alpha = \frac{2 	an \alpha}{1 - 	an^2 \alpha} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$$

В прямоугольном треугольнике $EKC$ (где $\angle EKC = 90°$):

$$	an 2\alpha = \frac{EK}{KC} \Rightarrow EK = KC \cdot 	an 2\alpha = 4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$$

Поскольку $K$ лежит на отрезке $LE$:

$$EL = EK + KL = \frac{16}{3} + 2 = \frac{22}{3}$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике