Question

Найдите точку максимума функции $y = x^3 - 12x^2 + 36x + 87$.

Accepted Answer

6

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную и определить характер экстремума по знакам производной. Вычислим производную: $$y' = 3x^2 - 24x + 36$$ Приравняем к нулю: $$3x^2 - 24x + 36 = 0$$ Разделим на 3: $$x^2 - 8x + 12 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$x = 2, \quad x = 6$$ Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 2)$, $(2; 6)$ и $(6; +\infty)$. При $x < 2$ (например, $x = 0$): $y' = 36 > 0$ — функция возрастает. При $2 < x < 6$ (например, $x = 4$): $y' = 3 \cdot 16 - 24 \cdot 4 + 36 = 48 - 96 + 36 = -12 < 0$ — функция убывает. При $x > 6$ (например, $x = 7$): $y' = 3 \cdot 49 - 24 \cdot 7 + 36 = 147 - 168 + 36 = 15 > 0$ — функция возрастает. В точке $x = 2$ производная меняет знак с плюса на минус — это точка максимума. В точке $x = 6$ производная меняет знак с минуса на плюс — это точка минимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике