Question

Найдите значение выражения $3\sqrt{3}-6\sqrt{3}\sin^{2}\frac{13\pi}{12}$.

Accepted Answer

4,5

Answer

Идея решения: вынести общий множитель и применить формулу косинуса двойного угла.

Вынесем $3\sqrt{3}$ за скобки:

$$3\sqrt{3}-6\sqrt{3}\sin^{2}\frac{13\pi}{12}=3\sqrt{3}\left(1-2\sin^{2}\frac{13\pi}{12}\right)$$

Используя формулу $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^{2}\alpha$, получаем:

$$3\sqrt{3}\cos\left(2 \cdot \frac{13\pi}{12}\right)=3\sqrt{3}\cos\frac{13\pi}{6}$$

Представим угол в виде суммы:

$$3\sqrt{3}\cos\left(2\pi+\frac{\pi}{6}\right)$$

Применим периодичность косинуса:

$$3\sqrt{3}\cos\frac{\pi}{6}=3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Вычислим произведение:

$$\frac{3 \cdot 3}{2}=\frac{9}{2}=4{,}5$$

Задание №7Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике