Question

а) Решите уравнение $2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos x$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить синус суммы, упростить выражение и свести к произведению множителей.

**а)** Раскроем синус суммы в левой части:

$$2\sin^2 x + \sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right) = \cos x$$

Подставим значения $\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$2\sin^2 x + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \cos x$$

$$2\sin^2 x + \sin x + \cos x = \cos x$$

$$2\sin^2 x + \sin x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$\sin x(2\sin x + 1) = 0$$

Получаем два случая:

**Случай 1:** $\sin x = 0$

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**Случай 2:** $\sin x = -\frac{1}{2}$

$$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

или

$$x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**б)** Отберём корни из отрезка $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$.

Из семейства $x = \pi n$:
- При $n = -2$: $x = -2\pi$ ✓ (принадлежит отрезку)
- При $n = -1$: $x = -\pi$ ✓ (принадлежит отрезку)

Из семейства $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$:
- При $n = 0$: $x = -\frac{\pi}{6}$ (не принадлежит, так как $-\frac{\pi}{6} > -\frac{\pi}{2}$)
- При $n = -1$: $x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6}$ (не принадлежит, так как $-\frac{13\pi}{6} < -2\pi$)

Из семейства $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$:
- При $n = 0$: $x = -\frac{5\pi}{6}$ ✓ (принадлежит отрезку)
- При $n = -1$: $x = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{17\pi}{6}$ (не принадлежит, так как $-\frac{17\pi}{6} < -2\pi$)

Задание №13УравненияЕГЭ по математике