Question

Найдите наибольшее значение функции $y = 10\sin x - \frac{36x}{\pi} + 7$ на отрезке $\left[-\frac{5\pi}{6}; 0\right]$.

Accepted Answer

32

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, установить монотонность функции и вычислить её значение на границе промежутка.

Вычислим производную:

$$y' = 10\cos x - \frac{36}{\pi}$$

Приравняем производную к нулю:

$$10\cos x - \frac{36}{\pi} = 0$$

$$\cos x = \frac{3{,}6}{\pi}$$

Поскольку $\pi \approx 3{,}14$, имеем $\frac{3{,}6}{\pi} > 1$. Это означает, что уравнение не имеет решений, так как косинус не превышает 1.

Проверим знак производной на отрезке. Для любого $x \in \left[-\frac{5\pi}{6}; 0\right]$ справедливо $\cos x \leq 1$, поэтому:

$$y' = 10\cos x - \frac{36}{\pi} < 10 - \frac{36}{\pi} < 0$$

Производная отрицательна на всём отрезке, следовательно, функция строго убывает. Наибольшее значение достигается в левой граничной точке.

Вычислим $y\left(-\frac{5\pi}{6}\right)$:

$$y\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = 10\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) - \frac{36 \cdot \left(-\frac{5\pi}{6}\right)}{\pi} + 7$$

$$= 10 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{36 \cdot 5\pi}{6\pi} + 7$$

$$= -5 + 30 + 7 = 32$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике