Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} x^{2}+y^{2}-4(a+1)x-2ay+5a^{2}+8a+3=0 \ y^{2}=x^{2} \end{array} ight.$$

имеет ровно четыре различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: привести первое уравнение к стандартному виду окружности, использовать второе уравнение для замены на две прямые, а затем найти условия, при которых каждая прямая пересекает окружность в двух точках, исключив случай, когда центр окружности лежит на пересечении прямых. Второе уравнение системы $y^{2}=x^{2}$ равносильно совокупности $y=x$ или $y=-x$. Преобразуем первое уравнение, выделяя полные квадраты: $$\left(x^{2}-4(a+1)x+(2a+2)^{2} ight)+\left(y^{2}-2ay+a^{2} ight)-(2a+2)^{2}-a^{2}+5a^{2}+8a+3=0$$ $$(x-(2a+2))^{2}+(y-a)^{2}=1$$ Это окружность с центром $(2a+2, a)$ и радиусом $1$. Для четырёх решений системы необходимо, чтобы каждая из прямых $y=x$ и $y=-x$ пересекала окружность в двух различных точках. Подставляем $y=x$ в уравнение окружности: $$x^{2}+x^{2}-4(a+1)x-2ax+5a^{2}+8a+3=0$$ $$2x^{2}-(6a+4)x+5a^{2}+8a+3=0$$ Дискриминант должен быть положительным: $$D=(6a+4)^{2}-8(5a^{2}+8a+3)>0$$ $$36a^{2}+48a+16-40a^{2}-64a-24>0$$ $$-4a^{2}-16a-8>0$$ $$a^{2}+4a+2<0$$ $$D_{a}=16-8=8$$ $$a\in\left(-2-\sqrt{2}, -2+\sqrt{2} ight)$$ Подставляем $y=-x$ в уравнение окружности: $$x^{2}+x^{2}-4(a+1)x+2ax+5a^{2}+8a+3=0$$ $$2x^{2}-(4a+4)x+5a^{2}+8a+3=0$$ Дискриминант должен быть положительным: $$D=(4a+4)^{2}-8(5a^{2}+8a+3)>0$$ $$16a^{2}+32a+16-40a^{2}-64a-24>0$$ $$-24a^{2}-32a-8>0$$ $$3a^{2}+4a+1<0$$ $$(3a+1)(a+1)<0$$ $$a\in\left(-1, -\frac{1}{3} ight)$$ **Пересечение условий:** $$a\in\left(-2-\sqrt{2}, -2+\sqrt{2} ight)\cap\left(-1, -\frac{1}{3} ight)=\left(-1, -\frac{1}{3} ight)$$ **Исключение вырожденного случая:** Прямые $y=x$ и $y=-x$ пересекаются в точке $(0, 0)$. Если эта точка лежит на окружности, то система имеет только три решения. Проверим: $$5a^{2}+8a+3 eq 0$$ $$D=64-60=4$$ $$a eq -\frac{3}{5}, \quad a eq -1$$ Так как $-1$ — граница интервала $\left(-1, -\frac{1}{3} ight)$, а $-\frac{3}{5}\in\left(-1, -\frac{1}{3} ight)$, исключаем $a=-\frac{3}{5}$. Итоговый ответ: $$a\in\left(-1, -\frac{3}{5} ight)\cup\left(-\frac{3}{5}, -\frac{1}{3} ight)$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике