Question

Решите неравенство:

$$\frac{2^{3x} - 10 \cdot 2^{2x} + 17 \cdot 2^x - 8}{x} \geq 0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: заменить показательное выражение на переменную, разложить числитель на множители, найти критические точки и применить метод интервалов. Заметим, что $x eq 0$. Обозначим $t = 2^x$, где $t > 0$. Числитель принимает вид: $$t^3 - 10t^2 + 17t - 8$$ Разложим этот многочлен на множители. Перегруппируем слагаемые: $$t^3 - t^2 - 9t^2 + 9t + 8t - 8 = t^2(t - 1) - 9t(t - 1) + 8(t - 1)$$ $$= (t - 1)(t^2 - 9t + 8)$$ Разложим квадратный трёхчлен: $$t^2 - 9t + 8 = t^2 - t - 8t + 8 = t(t - 1) - 8(t - 1) = (t - 1)(t - 8)$$ Таким образом: $$t^3 - 10t^2 + 17t - 8 = (t - 1)^2(t - 8)$$ Вернёмся к переменной $x$: $$(2^x - 1)^2(2^x - 8) \geq 0$$ Найдём нули числителя: - $2^x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0$ - $2^x - 8 = 0 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow x = 3$ Исходное неравенство имеет вид: $$\frac{(2^x - 1)^2(2^x - 8)}{x} \geq 0$$ Критические точки: $x = 0$ (исключена из области определения), $x = 3$ (нуль числителя). Анализируем знаки на интервалах: - При $x < 0$: $(2^x - 1)^2 > 0$, $2^x - 8 < 0$, $x < 0$ → дробь $\geq 0$ ✓ - При $0 < x < 3$: $(2^x - 1)^2 > 0$, $2^x - 8 < 0$, $x > 0$ → дробь $< 0$ ✗ - При $x = 3$: дробь $= 0$ ✓ - При $x > 3$: $(2^x - 1)^2 > 0$, $2^x - 8 > 0$, $x > 0$ → дробь $> 0$ ✓

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике