Question

Баржа отправилась из пункта А в пункт В в 10:00. Расстояние между пунктами составляет 30 км. После прибытия в пункт В баржа простояла 1 час 30 минут, затем начала обратный путь и прибыла в пункт А в 22:00. Найдите собственную скорость баржи (в км/ч), если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Accepted Answer

7

Answer

Идея решения: обозначить собственную скорость баржи через $x$, выразить время в пути по течению и против течения, составить уравнение на основе общего времени в пути.

Обозначим собственную скорость баржи как $x$ км/ч.

При движении по течению скорость баржи составляет $x + 3$ км/ч, против течения — $x - 3$ км/ч.

Время в пути по течению (из А в В):

$$t_1 = \frac{30}{x+3}$$

Время в пути против течения (из В в А):

$$t_2 = \frac{30}{x-3}$$

Общее время с 10:00 до 22:00 составляет 12 часов. Вычтем время остановки (1 час 30 минут = 1,5 часа):

$$t_1 + t_2 = 12 - 1{,}5 = 10{,}5$$

Составим уравнение:

$$\frac{30}{x+3} + \frac{30}{x-3} = 10{,}5$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{30(x-3) + 30(x+3)}{(x+3)(x-3)} = 10{,}5$$

$$\frac{30x - 90 + 30x + 90}{x^2 - 9} = 10{,}5$$

$$\frac{60x}{x^2 - 9} = 10{,}5$$

$$60x = 10{,}5(x^2 - 9)$$

$$60x = 10{,}5x^2 - 94{,}5$$

$$10{,}5x^2 - 60x - 94{,}5 = 0$$

Умножим на 2 для удобства:

$$21x^2 - 120x - 189 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = 120^2 + 4 \cdot 21 \cdot 189 = 14400 + 15876 = 30276$$

$$\sqrt{D} = 174$$

Корни уравнения:

$$x = \frac{120 \pm 174}{42}$$

$$x_1 = \frac{120 - 174}{42} = \frac{-54}{42} < 0$$

$$x_2 = \frac{120 + 174}{42} = \frac{294}{42} = 7$$

Так как скорость не может быть отрицательной, $x = 7$ км/ч.

Задание №10Текстовые и прикладные задачиЕГЭ по математике