Question

В основании правильной треугольной пирамиды $ABCD$ лежит треугольник $ABC$ со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре $AD$ отмечена точка $T$ так, что $AT:TD=2:1$ . Через точку $T$ параллельно прямым $AC$ и $BD$ проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: построить сечение через параллельные прямые, показать, что оно образует параллелограмм с перпендикулярными сторонами, затем найти длины сторон через подобие треугольников.

**а) Доказательство**

Пусть плоскость пересекает рёбра пирамиды в точках $T$, $N$, $E$, $M$ так, что $TN \parallel BD$ и $TM \parallel AC$. Проведём в плоскости основания через точку $N$ прямую, параллельную $AC$; обозначим её пересечение с $BC$ как $E$. Получим также прямую $ME$.

Из условия задачи известно:
- треугольник $ABC$ равносторонний с $AB = BC = AC = 6$;
- боковые рёбра $AD = BD = CD = 5$.

Из параллельности $TN \parallel BD$ следует, что $AN:NB = AT:TD = 2:1$.

Из параллельности $NE \parallel AC$ следует, что $AN:NB = BE:EC = 2:1$.

Из параллельности $TM \parallel AC$ следует, что $AT:TD = CM:MD = 2:1$.

Поскольку $CM:MD = BE:EC = 2:1$, получаем $ME \parallel BD$.

Таким образом, $ME \parallel TN$ и $TM \parallel NE$, откуда четырёхугольник $TMEN$ — параллелограмм.

Проведём высоты в треугольниках $ADC$ и $ABC$. Поскольку оба треугольника равнобедренные, высоты из $D$ и $B$ к стороне $AC$ перпендикулярны $AC$. По теореме о трёх перпендикулярах получаем $DB \perp AC$.

Так как $TN \parallel DB$ и $NE \parallel AC$, то $TN \perp NE$.

Параллелограмм $TMEN$ с прямым углом является прямоугольником.

**б) Вычисление площади**

Рассмотрим треугольники $ANT$ и $ABD$. Угол $\angle DAB$ — общий, и $\frac{AN}{AB} = \frac{AT}{AD} = \frac{2}{3}$, поэтому $	riangle ANT \sim 	riangle ABD$ по двум сторонам и углу между ними.

Из подобия:

$$\frac{NT}{BD} = \frac{2}{3}$$

$$NT = \frac{2}{3} \cdot 5 = \frac{10}{3}$$

Рассмотрим треугольники $TDM$ и $ADC$. Угол $\angle ADC$ — общий, и $\frac{TD}{AD} = \frac{DM}{DC} = \frac{1}{3}$, поэтому $	riangle TDM \sim 	riangle ADC$.

Из подобия:

$$\frac{TM}{AC} = \frac{1}{3}$$

$$TM = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$$

Площадь прямоугольника:

$$S_{TMEN} = TM \cdot TN = 2 \cdot \frac{10}{3} = \frac{20}{3}$$

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике