Question

а) Решите уравнение $2\sin x+2\sqrt{2}\sin\left( -x \right)-4\cos^{2}x=\sqrt{2}-4$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\frac{\pi}{2};\pi \right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать уравнение к произведению двух множителей, решить два простейших тригонометрических уравнения и отобрать корни на заданном отрезке.

**а) Решение уравнения**

Используем свойство $\sin(-x) = -\sin x$ и формулу $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$$2\sin x - 2\sqrt{2}\sin x - 4(1 - \sin^2 x) = \sqrt{2} - 4$$

Раскроем скобки:

$$2\sin x - 2\sqrt{2}\sin x - 4 + 4\sin^2 x = \sqrt{2} - 4$$

Упростим:

$$2\sin x - 2\sqrt{2}\sin x + 4\sin^2 x - \sqrt{2} = 0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$2\sin x(1 + 2\sin x) - \sqrt{2}(1 + 2\sin x) = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$(1 + 2\sin x)(2\sin x - \sqrt{2}) = 0$$

Получаем два уравнения:

$$\sin x = -\frac{1}{2} \quad 	ext{или} \quad \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Для первого уравнения:

$$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$
$$x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Для второго уравнения:

$$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$
$$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке**

Используя тригонометрическую окружность, выбираем корни, лежащие в $\left[ -\frac{\pi}{2};\pi ight]$:

$$x_1 = -\frac{\pi}{6}$$

$$x_2 = \frac{\pi}{4}$$

$$x_3 = \frac{3\pi}{4}$$

Задание №13УравненияЕГЭ по математике